Teoria Dei Fenomeni Aleatori 2012/2013

Programma: Definizione di fenomeno aleatorio. Richiami di teoria degli insiemi. Richiami di calcolo combinatorio. Esperimenti ed eventi. Il concetto di probabilità. Probabilità condizionata ed indipendenza. Eventi indipendenti. Teoremi della probabilità totale e di Bayes. Prove ripetute. Prove bernoulliane e legge binomiale. Legge binomiale generalizzata. Eventi “rari” e teorema di Poisson. Esperimento dei punti di Poisson. Definizione di variabile aleatoria. La distribuzione, la densità e la massa di probabilità di probabilità. La distribuzione empirica. I percentili. L'istogramma.  Momenti di una variabile aleatoria. Il valore atteso e la varianza. Diseguaglianza di Chebyshev. Diseguaglianza di Markov. Modelli: Uniforme, Gaussiano, Rayleigh, Esponenziale, Binomiale, di Poisson. Funzione di una variabile aleatoria. Il Teorema fondamentale per la densità di probabilità. Coppie di variabili aleatorie. Distribuzioni di probabilità congiunte e marginali. Indipendenza statistica di due variabili aleatorie. Covarianza e correlazione. Regressione lineare. Funzioni di una coppia di variabili aleatorie. Il teorema fondamentale.  Il concetto di distribuzione condizionata. Valori attesi condizionati.  La curva di regressione. La bivariata gaussiana. Elementi di teoria dell'affidabilità. La legge dei Grandi Numeri e collegamenti tra i modelli. Il Teorema centrale del limite. Il Teorema di De Moivre – Laplace. Applicazioni  statistiche. Teoria degli errori. Modello Chi Quadro e modello di Student. La funzione caratteristica. Teorema dei momenti. Sequenze (sistemi) di variabili aleatorie. La matrice di Covarianza. Somma di variabili aleatorie indipendenti. Convergenza di una sequenza di variabili aleatorie. Statistica matematica: concetti fondamentali. Il campione aleatorio e le statistiche campionarie. La media di campione e la varianza di campione. La decisione statistica. Il processo di decisione. Il criterio della massima verosimiglianza. Il Criterio di Neyman – Pearson. Verifica delle ipotesi statistiche parametriche. Il test statistico; errori di primo e secondo tipo. Le ipotesi statistiche non parametriche. Test di Kolmogorov – Smirnov. Test del Chi-quadro. Teoria della stima. Limiti di confidenza. Il metodo dei momenti. Stima a massima verosimiglianza. Stimatori ottimi. Simulazione al calcolatore. Metodi Montecarlo. Introduzione ai Processi aleatori. Introduzione alle Catene di Markov. Introduzione alla Teoria delle file d’attesa.

Modalità di accertamento ed acquisizione dei risultati di apprendimento da parte dello studente: Le nozioni e le abilità acquisite dagli allievi vengono verificate in due prove di esame, una scritta e la successiva, orale. A queste verifiche  finali si affiancano quelle svolte durante il corso: esercitazioni, domande e risposte in aula o in orario di ricevimento.