Geometria 2026/2027

Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI 1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta’ di calcolo. 1.2 Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi geometrici, lo spazio dei polinomi. 1.3 Nozione di sottospazio, sottospazio generato, sistema di generatori. 1.4 Sistemi linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipen- denti. 1.5 Il Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. 1.6 Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann. Capitolo 2: MATRICI 2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici. 2.2 L’algebra delle matrici quadrate. Generalita’ sull’inversa e sulla trasposta di una matrice. 2.3 Operazioni e matrici elementari. Matrici a scala. L’algoritmo di Gauss. 2.4 Rango di una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le operazioni elementari. 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace, proprieta’ e calcolo tramite le operazioni elementari. 2.6 Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di una matrice. Il Teorema degli Orlati. 2.7 Calcolo esplicito dell’inversa di una matrice: l’aggiunta classica e l’Algoritmo di Gauss - Jordan. Capitolo 3: SISTEMI LINEARI 3.1 Generalita’ sui sistemi lineari e notazione matriciale. 3.2 Il Teorema e la Regola di Cramer. 3.3 Sistemi lineari compatibili ed il Teorema di Rouche’-Capelli. 3.4 Sistemi equivalenti, operazioni elementari su un sistema lineare. 3.5 Variabili libere e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema lineare. 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione parametrica e cartesiana di un sottospazio. 3.7 Sistema lineare omogeneo associato. Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI 4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. L’applicazione delle coordinate. 4.2 Applicazioni lineari. Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare. Matrice del cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari. Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. 4.3 Struttura di un’applicazione lineare: nucleo e immagine. Il teorema della dimensione. 4.4 L’algebra degli endomorfismi. Sostituzione in un polinomio. La relazione di similitudine tra matrici. 4.5 Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di una matrice. Capitolo 6: FORME QUADRATICHE 6.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti. 6.2 L’algoritmo di Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeu- clideo. Legge di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice simmetrica. 6.3 Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme definite, semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori principali. Il criterio di Jacobi. 6.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio euclideo. Diseguaglianza di Cauchy- Schwarz. Proprieta’ della norma euclidea. Basi ortonormali e matrici ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. 6.5 Coefficiente di Fourier. Proiezione ortogonale su un sottospazio. Complemento ortogonale di un sottospazio. Teorema degli Assi Principali e Teorema spettrale. Capitolo 7: GEOMETRIA AFFINE ED EUCLIDEA NEL PIANO E NELLO SPAZIO. 7.1 Rette e piani nello spazio. 7.2 Prodotto scalare. Angolo. Prodotto vettoriale. Area di un triangolo. 7.3 Posizioni reciproche di rette e piani, parallelismo e perpendicolarita’.

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Non ci sono differenze di contenuto nel programma del corso tra studenti frequentanti e non frequentanti. Il programma corso riguarda argomenti relativi ad un corso introduttivo all'Algebra Lineare ed alla Geometria Affine ed Euclidea; le principali aree trattate nel corso dell'insegnamento sono qui di seguito elencate, in maniera schematica e completa, integrate da una scansione temporale in cui esse presumibilmente verranno discusse * Spazi vettoriali: basi, dimensione, coordinate, sottospazi vettoriali, equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi, formula di Grassmann, somma diretta di sottospazi (20 ore) * Sistemi lineari e matrici: prodotto, rango, determinante, invertibilità, Rouchè-Capelli (16 ore) * Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei: complementi ortogonali, basi ortonormali ed ortogonali, Gram-Schmidt, proiezioni ortogonali, matrici ortogonali (12 ore) * Spazi geometrici euclidei: formule di geometria euclidea nel piano cartesiano IR^2 e nello spazio 3-dimensionale cartesiano IR^3. Affinità ed isometrie del piano IR^2 e dello spazio cartesiano IR^3 (6 ore) * Applicazioni lineari: nucleo ed immagine. Isomorfismi ed automorfismi. Endomorfismi od operatori lineari: autovalori ed autovettori. Diagonalizzabilità di endomorfismi (18 ore) * Matrici simmetriche, operatori autoaggiunti e forme quadratiche reali. Teorema spettrale degli operatori simmetrici od autoaggiunti (caso reale). Riduzione a forma canonica di Sylvester (8 ore) * Coniche del piano cartesiano: coniche affini e coniche euclidee; forme canoniche affini e forme canoniche metriche. Classificazione a meno di congruenza oppure a meno di affinità (10 ore)

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