Il programma comprende i seguenti argomenti, che saranno svolti (orientativamente) nell'ordine in cui qui di seguito sono elencati. Saranno possibili alcune variazioni in corso d'opera, in funzione degli interessi di coloro che frequenteranno il corso.
FONDAMENTI di TEORIA delle ALGEBRE di LIE:
Algebre, algebre associative, algebre di Lie. Sottoalgebre, ideali. Morfismi tra algebre. Operazioni tra sottoalgebre e tra ideali. Le algebre di Lie classiche.
Teoremi di Corrispondenza (per morfismi tra algebre); Teorema Fondamentale di Omomorfismo; Teoremi di Isomorfismo.
CLASSI SPECIALI di ALGEBRE di LIE
Algebre di Lie semplici. Sottoalgebra derivata; la serie derivata, la serie centrale discendente. Algebre di Lie nilpotenti; il Teorema di Engel. Algebre di Lie risolubili; il Teorema di Lie. Il radicale di un’algebra di Lie; algebre di Lie semisemplici.
Decomposizione di Jordan-Chevalley per algebre di Lie semisemplici.
La forma di Killing; criterio di Cartan (per la risolubilità); criteri di semisemplicità.
Struttura di un'algebra di Lie semisemplice.
MODULI e RAPPRESENTAZIONI (generalità, caso di sl(2)):
Moduli (o "rappresentazioni"), sottomoduli, quozienti, morfismi; Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo; prodotti diretti e somme dirette; moduli di morfismi, modulo duale. Prodotto tensoriale e somme dirette tra moduli. Moduli semplici o semisemplici. Moduli per sl(2) di dimensione finita: struttura e classificazione.
STRUTTURA delle ALGEBRE di LIE SEMISEMPLICI:
Sottoalgebre di Cartan (in un'algebra di Lie semisemplice). Radici, spazi radice e decomposizione di Cartan; sl(2)-terne. Proprietà dei vettori radice e delle coradici. Il sistema di radici associato a un'algebra di Lie semisemplice e una sua sottoalgebra di Cartan.
Invarianza della forma di Killing per isomorfismi. Il Teorema di Coniugazione per sottoalgebre di Cartan. Un isomorfismo tra algebre di Lie semisemplici induce un isomorfismo tra i sistemi di radici associati.
La decomposizione in somma diretta di ideali semplici corrisponde alla decomposizione del sistema di radici in unione di (sotto)sistemi irriducibili.
SISTEMI di RADICI (FINITI) ASTRATTI:
Sistemi di radici (finiti) astratti. Gruppo di Weyl di un sistema di radici. Stringhe di radici. Radici semplici; basi di radici semplici. Teorema di Esistenza delle Basi. Camere di Weyl. L'azione del gruppo di Weyl sull'insieme delle basi e sull'insieme delle camere di Weyl.
La matrice di Cartan di un sistema di radici, e suo diagramma di Dynkin. Sistemi di radici irriducibili. Classificazione dei sistemi di radici irriducibili.
COSTRUZIONE di ALGEBRE di LIE da SISTEMI di RADICI:
Costruzioni per generatori e relazioni.
Insiemi standard di generatori per un’'algebra di Lie semisemplice; relazioni soddisfatte da un insieme standard di generatori. Il Teorema di Serre: costruzione di un’algebra di Lie semisemplice con sistema di radici prestabilito.
Classificazione delle algebre di Lie semisemplici.
ALGEBRA INVILUPPANTE UNIVERSALE:
Algebra inviluppante universale di un'algebra di Lie: definizione, unicità, esistenza (costruzione esplicita). Teorema di Poincaré-Birckhoff-Witt e sue conseguenze.
L'identificazione canonica tra la categoria degli L-moduli e la categoria degli U(L)-moduli.
L’isomorfismo canonico tra U(L'⊕L") e U (L')⊗U(L") . Il morfismo di algebre di Lie “diagonale” da L a L⊕L induce un morfismo (di algebre associative) “coprodotto” da U(L) a U(L)⊗U(L).
Struttura di algebra di Hopf per U(L) e struttura tensoriale nella categoria degli L-moduli.
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