Programma del corso di Teoria della Misura (CAM1)
1. Cardinalit`a. Concetti generali sulla cardinalita`a. In. Teorema di Cantor-Bernstein.
Cardinalit`a del continuo. Esempi.
2. Teoria generale della misura. Algebre e σ-algebre. Funzioni additive e σ-additive di
insieme. Misure, misure finite e σ-finite, misure complete. Spazi misurabili e spazi di
misura. Limite superiore e limite inferiore di insiemi, e relazione con la misura. Classi
monotone e teorema di estensione di Halmos. Misure esterne, estensione a una σ-
algebra di funzioni σ-additive su un’algebra, teorema di Carath ́eodory. Misure di Borel e
di Radon.Misura di Lebesgue in R e in RN . Insiemi boreliani e insiemi Lebesguemisurabili.
Invarianza per traslazione e per rotazione. Cubi diadici e aperti visti come
unione di cubi diadici. Insieme di Cantor (a livello di esercizi). Propriet`a di regolarit`a
delle misure di Radon
3. Funzioni misurabili. Funzioni misurabili e funzioni di Borel. Caratterizzazioni delle
funzioni misurabili a valori reali o a valori reali estesi. Relazione tra misurabilit`a e
continuit`a. Lo spazio delle funzioni misurabili `e chiuso rispetto a somma, prodotto,
massimo, minimo, sup e inf numerabili, massimo e minimo limite. Funzioni semplici.
Ogni funzione misurabile nonnegativa `e limite crescente di funzioni semplici.
Convergenza quasi ovunque, quasi uniforme e in misura, e relazioni tra di loro. Teorema
di Lusin.
4. Integrazione. Integrale di funzioni semplici nonnegative. Integrale di funzioni misurabili
nonnegative. Integrali di funzioni misurabili. Funzioni integrabili e sommabili. Le
funzioni sommabili sono finite quasi ovunque. Principali propriet`a dell’integrale:
linearit`a, integrale del modulo e modulo dell’integrale, crescenza dell’integrale rispetto
alla funzione integranda, integrali di funzioni coincidenti quasi ovunque, una funzione
misurabile non- negativa ha integrale 0 se e solo se `e nulla quasi ovunque. Assoluta
continuit`a dell’integrale. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale:
Teorema di Beppo Levi, Lemma di Fatou, Teorema della convergenza dominata, e
conseguenze. Continuit`a e derivata della funzione integrale, dipendente da un
parametro. Esempi.
5.Spazi Lp.Spazi Lp per1≤p<∞eperp=∞.Loro completezza.Teoremadi Riesz-Fischer.
Disuguaglianze di Holder e Minkowski e conseguenze. Relazione tra norma Lp e norma
L∞ (senza dimostrazione). La convergenza in Lp implica la convergenza in misura.
Separabilit`a degli spazi Lp e densit`a delle funzioni continue a supporto compatto in Lp
quando p < ∞.
6. Misure prodotto. σ-algebra prodotto. Misure prodotto. Misure prodotto e σ-algebre n
prodotto in R . Teoremi di Tonelli e di Fubini.
7. Funzioni assolutamente continue e a variazione limitata. Le funzioni monotone sono
misurabili. Le funzioni monotone hanno al massimo un insieme numerabile di 1 punti di
discontinuit`a. Una funzione monotona `e derivabile quasi ovunque (dimostrazione
facoltativa). Variazione totale di funzioni a valori reali e funzioni a variazione limitata.
Principali propriet`a della variazione totale e delle funzioni a variazione limitata. Le funzioni
a variazione limitata costituiscono uno spazio vettoriale e sono esattamente le funzioni
differenza di due funzioni crescenti. Funzioni assolutamente continue. Le funzioni
assolutamente continue sono a variazione limitata, ma non vale il viceversa. Le funzioni
assolutamente continue costituiscono uno spazio vettoriale. Relazione tra funzioni
tamente continue e funzioni integrali di funzioni L !. Una funzione assolutamente
continua con derivata nulla quasi ovunque `e costante (senza dimostrazione). Teorema
fondamentale e formula fondamentale del calcolo integrale per funzioni assolutamente
continue e versione corrispondente per funzioni a variazione limitata.
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