Calcolo 1 2022/2023

I numeri razionali sono un campo totalmente ordinato. Rappresentazione dei razionali come numeri decimali periodici. Definizione dei numeri reali come decimali infiniti anche non periodici. Definizione di estremo superiore di uninsieme. Teorema dell’esistenza del sup per i sottoinsiemi non vuoti superiormente limitati di R. Principio di induzione. Funzioni: dominio, codominio, grafico, immagine. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa, composizione di funzioni.   Funzioni reali di variabile reale:il grafico come sottoinsieme del piano, somma e prodotto di funzioni, reciproco di una funzione. Polinomi, funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Funzioni iperboliche e funzioni iperboliche inverse. Successioni: monotone, limitate, proprietà valide definitivamente. Retta reale estesa, intorni dei suoi punti. Teoremi sui limiti di successioni. Successioni di Cauchy. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Funzioni: definizione di limite per funzioni. Teoremi sui limiti di funzioni. Funzioni continue. Continuità di potenze, funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi. Punti di discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue. Uniforme continuità e teorema di Heine-Cantor. Derivata di una funzione, relazione con la retta tangente al grafico in un suo punto. Derivate di funzioni elementari. Linearità della derivata. Metodi di calcolo della derivata. Definizione di massimo o minimo locale, teorema di Fermat. Teoremi Rolle, Lagrange e Cauchy. Teorema di de l'Hopital. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso e relazione con la derivata seconda. Polinomio di Taylor, teorema di Peano. Sviluppi di McLaurin di alcune funzioni notevoli. Calcolo dei limiti tramite il polinomio di Taylor. Formula di Taylor col resto di Lagrange. Convergenza della serie di Taylor. La funzione esponenziale con argomento immaginario. Calcolo integrale. Somme superiori e inferiori per una funzione limitata sull’intervallo [a,b]. Definizione di integrale di Riemann. Linearità dell’integrale e additività per intervalli adiacenti. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo. Formule di integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri: definzione e studio della convergenza. Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie, il problema di Cauchy. EDO del primo ordine lineari. EDO del secondo ordine lineari omogenee.  Caso non omogeneo: soluzioni per similarità. EDO del primo ordine a variabili separabili.