Meccanica Dei Sistemi Biologici 2019/2020

Meccanica dei Sistemi Biologici A.A. 2019/2020 (Programma indicativo)

NOTA: a causa dell'emergenza COVID-19 il programma ha subito alcune variazioni. Per il dettaglio del programma effettivamente svolto consultare il registro delle lezioni nella sezione File della pagina del corso  sul sito Didattica Web.

ANALISI NUMERICA

Approssimazione di dati e funzioni. Interpolazione polinomiale: esistenza e unicità del polinomio interpolante, polinomi di Lagrange, differenze divise di Newton, polinomi di Hermite, splines; fenomeno di Runge, nodi di Chebyshev, interpolazione composita, errore di interpolazione, diagramma logaritmico dell’errore, condizionamento del polinomio interpolante; interpolazione trigonometrica ed FFT; interpolazione razionale fratta; interpolazione bidimensionale su partizioni in triangoli e rettangoli; approssimazione nel senso dei minimi quadrati.

Integrazione e derivazione numerica. Formule di quadratura: formula di Archimede, formule di Newton-Côtes, formule di Gauss, formule composite, grado di precisione, errore di integrazione; formule di derivazione numerica e soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie, metodi espliciti ed impliciti, esempi (theta-metodi e metodo di Heun), convergenza, zero-stabilità e assoluta stabilità (cenni).

Sistemi lineari. Condizionamento e sensibilità agli errori; norme matriciali e raggio spettrale; metodi diretti: eliminazione di Gauss e Gauss-Jordan; metodi iterativi: convergenza, metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e di rilassamento, criteri d’arresto (cenni); costo computazionale; comparazione tra i metodi di soluzione.

Equazioni e sistemi non lineari. Equazione non lineare singola: metodo di dimezzamento, regula falsi, metodo di Newton, metodi di punto fisso. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton-Raphson. Problemi di ottimizzazione: il caso del funzionale quadratico.

SOLUZIONE di PROBLEMI ALLE DERIVATE PARZIALI

Metodi al continuo: metodi di Ritz e Galerkin; soluzione transitoria e di regime in problemi dipendenti dal tempo: diffusione in un capillare, diffusione attraverso una membrana (soluzione per serie).

Metodi di discretizzaizone (elementi finiti). Introduzione; metodi di Ritz e Galerkin; elementi finiti monodimensionali, triangolari, quadrilateri e tetraedrici; elementi di ordine superiore; funzioni caratteristiche; elementi di riferimento e mappa isoparametrica; matrice di rigidezza e vettore dei carichi; imposizione delle condizioni al contorno; assemblaggio; esempi 1D e 2D; applicazione al problema elastico lineare; problemi di diffusione-convezione-reazione; diffusione non-stazionaria; trave di Eulero-Bernoulli; implementazione (cenni).

MECCANICA

Materiali e strutture non omogenee. Esempi di materiali non omogenei; micro-scala e macro-scala; omogeneizzazione: costanti elastiche omogeneizzate, compositi statisticamente omogenei, elemento rappresentativo di volume, regola delle miscele, tensori di localizzazione, stime di Voigt e Reuss, Eshelby, teoremi di Hill, metodo di Hill e Mandel. Simmetrie materiali e relative equazioni costitutive elastiche lineari (materiali monoclini, trasversalmente isotropi, ortotropi, isotropi); esempi di problemi di equilibrio elastico in materiale anisotropo: trave a sforzo normale, a flessione, a torsione; Problemi anisotropi tridimensionali ed elementi finiti. Aspetti caratteristici dei materiali biologici: crescita e rimodellamento del tessuto osseo, caratterizzazione e modellazione di tessuti in fibre collageniche, il caso bidimensionale e la formula di Mariotte, struttura e proprietà dei tessuti arteriosi.

FLUIDODINAMICA

Generalità sui fluidi: Definizione di fluido. Concetto di continuo. Densità ed espansione termica. Comprimibilità di un fluido. Viscosità e sforzi. Tensione di vapore. Tensione superficiale. Effetto della curvatura della superficie. Capillarità.

Cinematica dei fluidi: Descrizione lagrangiana ed euleriana. Derivata materiale. Accelerazione di Lagrange. Funzione di corrente. Analisi del moto nell'intorno di un punto: caso bidimensionale semplificato, caso generale tridimensionale

Dinamica dei fluidi:Teorema del trasporto di Reynolds. Equazione di conservazione della massa: forma integrale, forma differenziale. Equazione di bilancio della quantità di moto: forma integrale, forma differenziale. Applicazione dell'equazione di bilancio della quantità di moto. Equazione di conservazione dell'energia: forma integrale, forma differenziale. Applicazione dell'equazione di conservazione dell'energia. Forma differenziale vs forma integrale. Il tensore degli sforzi. Relazioni costitutive. Equazioni di Navier­-Stokes.

Equazione di Bernoulli: Seconda legge della dinamica per un fluido ideale. Equazione di Bernoulli.

Soluzioni esatte delle equazioni di Navier-­Stokes: Flusso tra lastre piane e parallele. Flusso di Couette. Flusso di Hagen-­Poiseuille.

Strato limite: Equazioni dello strato limite, fenomenologia e separazione dello strato limite.

Forze fluidodinamiche e similitudini: Teorema di Buckingham ed analisi dimensionale. Similitudine dinamica. Similitudine distorta. Studio di flussi particolari: flusso intorno a corpi immersi, flussi con superficie libera, flusso nelle macchine rotanti, flusso in circuiti chiusi. Legge di Darcy-Weisbach. Perdite concentrate. Forze aerodinamiche.

Esercitazioni in Matlab

• Interpolazione polinomiale: fenomeno di Runge
• Interpolazione lineare a tratti e diagramma logaritmico dell’errore
• Metodi di integrazione numerica di ODE
• Metodo di Newton
• Stima di Eshelby

Riferimenti

Appunti delle lezioni

Quarteroni, Sacco, Saleri, Numerical Mathematics, Springer

Quarteroni, Sacco, Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave

Dispense di fluidodinamica: http://people.uniroma2.it/roberto.verzicco/MSB.html

Altro materiale didattico (fogli di esercizi, codici Matlab, presentazioni PowerPoint, etc…) verrà reso disponibile nella sezione Deposito File della pagina web del corso.