Scienza Delle Costruzioni 2019/2020

PROGRAMMA DEL CORSO DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

OBIETTIVI DEL CORSO

Il corso fornisce i principali strumenti e metodi per lo studio della meccanica delle strutture e dei materiali. Le tematiche trattate costituiscono parte essenziale del corredo culturale di un ingegnere civile-ambientale e di un ingegnere medico.

DOCENTI:

Prof. Paolo Bisegna, Prof.ssa Cristina Falcinelli, Prof. Nicola A. Nodargi, Prof. Giuseppe Vairo

ANALISI DELLA TENSIONE

Definizione di mezzo continuo alla Cauchy. Equazioni cardinali della statica. Definizione di tensione. Postulato di Cauchy. Componenti cartesiane e speciali di tensione. Teorema di rappresentazione (di Cauchy). Equazioni di equilibrio indefinite ed al limite. Simmetria del tensore delle tensioni. Reciprocità delle tensioni tangenziali. Variazione del riferimento di rappresentazione per il tensore delle tensioni. Direzioni principali di tensione e tensioni principali. Invarianti di tensione. Cerchi principali di Mohr e arbelo di Mohr (discussione grafica sui massimi e minimi valori delle tensioni normali e tangenziali). Costruzione grafica del cerchio di Mohr per stati di tensione su fascio di piani con asse di sostegno principale. Indicazione grafica delle giaciture a tensioni tangenziali massime. Decomposizione dello stato di tensione in parte idrostatica e deviatorica. Stati piani e monoassiali di tensione (proprietà di piano scarico). Piano ottaedrale e componenti ottaedrali di tensione.

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

Cinematica dei mezzi continui. La configurazione attuale e di riferimento; condizioni di regolarità sul campo di spostamenti compatibile; richiami al tensore di deformazione di Green-Lagrange; ipotesi di piccole deformazioni e tensore delle piccole deformazioni. Significato fisico delle componenti del tensore delle piccole deformazioni; calcolo delle componenti di deformazione infinitesime; additività delle deformazioni infinitesime; direzioni principali di deformazione e dilatazioni principali; invarianti di deformazione. Variazione di volume; decomposizione dello stato di deformazione infinitesima in parti idrostatica e deviatorica; stati piani e monoassiali di deformazione; equazioni di congruenza interna: condizione necessaria e sufficiente alla compatibilità (senza dimostrazione); congruenza esterna.

LEGAME COSTITUTIVO

Richiami sul TLV per corpi continui. L’interpretazione meccanica del Lvi. Il lavoro virtuale delle forze interne ed il lavoro incrementale interno. Il lavoro interno per unità di volume: indipendenza dal percorso deformativo ed elasticità. Esistenza dei potenziali Phi e Psi. Il caso di Phi quadratico e l’elasticità lineare. I materiali stabili e la positiva definitezza degli hessiani H, C. Equazioni dirette ed inverse di Navier. Significato fisico di E, nu, G. Limitazione sui valori di E, nu, G derivanti dalla positiva definitezza di H. Il modulo di rigidità volumetrica.

PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO ELASTICO

Il problema dell’equilibrio elastico lineare.  Sovrapposizione degli effetti. Teorema di Kirchhoff. Esistenza della soluzione. Il metodo degli spostamenti e le equazioni di Navier dell’equilibrio elastico. Equazioni di Beltrami e metodo delle forze. Principio di stazionarietà dell’EPT (dimostrazione diretta e inversa). Relazione con il metodo degli spostamenti. Stazionarietà della EC (solo inversa) e metodo delle forze. Teorema di Clapeyron. Teorema di Betti in 3D ed 1D. Teorema di Betti generalizzato. Primo e secondo teorema di Castigliano.

PROBLEMA DI SAINT VENANT

Problema di Saint Venant. Posizione: geometria, vincoli, carichi, materiale, ipotesi. Equilibrio. Il principio di SV (carichi autoequilibrati su una base; distanza di estinzione; dipendenza della soluzione dai soli descrittori statici su una base). Caratteristiche della sollecitazione (metodo diretto; espressione in termini delle tensioni). Approccio semi-inverso. Lo stato tensionale alla SV e sue proprietà (det T=0; stato piano di tensione; tn//z su giaciture//z; piano delle tensioni). Formulazione rilassata del problema del Saint Venant. Equilibrio indefinito ed ai limiti (sul mantello e sulle basi). Legame costitutivo. Congruenza (rot rot eps = 0). Linearità di sigma_z in z e, per ogni fissato z, in x e y. Il caso con sola sigma_z (e formula trinomia) ed il caso con sola tau_z. Lo sforzo normale e la flessione retta. Stato di tensione e di deformazione. Il campo di spostamenti (metodo di Cesaro). Planeità delle sezioni rette dopo la deformazione. L’equazione della linea elastica in trazione ed in flessione. La deformazione della sezione retta (cenni). Flessione deviata. Formula binomia. Spostamento della linea d’asse. Assi di momento e di sollecitazione, neutro e di flessione. Flessione deviata. Relazione di coniugio fra s ed n. Formule monomie per sigma_z. Diagrammi di sigma_z. Aspetti del progetto a flessione: moduli di resistenza e raggi di nocciolo. Sforzo normale eccentrico. Formula trinomia. Asse neutro e relazione con il centro di pressione. Formule monomie. Formula binomia. Verifica con i momenti di nocciolo. Ortogonalità fra N, Mx, My.

La torsione: approccio agli spostamenti. Soluzione via funzione di ingobbamento. Condizioni di equilibrio: problema di Neumann-Dini, condizioni di integrabilità e unicità della soluzione. Relazione Mz, Jt. Limitazione di fra 0 e I_G. Variazione di volume. Energia di deformazione. Il caso della torsione per trave a sezione circolare. Analogia idrodinamica. Torsione attorno ad un asse non baricentrico. Invarianza delle tensioni. Analisi della cinematica della trave e caratterizzazione delle rotazioni medie attorno a x e y. Il centro di torsione. Approccio del problema di torsione via la funzione di Prandtl (F). Condizione di congruenza: il problema di Dirichlet. Sulla scelta del valore costante di F sul bordo della sezione retta. Relazione Mz, F. Linee di livello di F. Analogia della membrana. Soluzione esatta del problema di torsione nel caso di sezione ellittica. Soluzione approssimata nel caso della sezione rettangolare allungata. Stima dell’errore e limiti di applicabilità. Appartenenza del centro di torsione ad eventuali assi di simmetria della sezione retta.

Il problema del taglio per la trave alla De Saint Venant. Formulazione del problema. Tensioni sigma_z indotte dalla flessione associata al taglio. Impostazione esatta del problema di equilibrio e di congruenza per le tensioni tangenziali. Ortogonalità in energia fra taglio e torsione: il centro di taglio. La formula di Jourawsky in termini di componenti principali di taglio. Soluzione approssimata (alla Jourawsky) delle tensioni tangenziali. La formula di Jourawsky in termini della componente di taglio lungo l’asse di flessione. Determinazione delle tensioni tangenziali da taglio nel caso di sezioni simmetriche caricate simmetricamente. Corda di massima tau e braccio della coppia interna. Un primo esempio: la sezione rettangolare. Ulteriori esempi di sezioni simmetriche caricate simmetricamente: la sezione a T, la sezione a doppio T. Determinazione del centro di taglio nel caso di sezioni con almeno un asse di simmetria: il caso della sezione a C. Deformazioni da taglio: i fattori di taglio. Fattori di taglio per sezioni con almeno un asse di simmetria. Il caso della sezione rettangolare. Determinazione del centro di taglio per sezioni prive di assi di simmetria: il metodo del doppio asse neutro. Esempi di applicazione. Il centro di taglio nel caso delle sezioni sottili stellate.

Estensione dei risultati della teoria del De Saint Venant a travi reali.

TRAVI IN PARETE SOTTILE

Il caso delle travi in parete sottile. Limiti di applicabilità del principio di Saint Venant. Definizione di sezione sottile. Campo di tensioni tangenziali approssimato al primo ordine nello spessore. Problema di torsione per sezioni sottili aperte. Problema di torsione per sezioni sottili chiuse: sezioni biconnesse. Il flusso alla Bredt e I formula di Bredt. II formula di Bredt. Ripartizione del momento torcente in parte aperta e parte chiusa. Esempi di applicazione e valutazione dei contributi di rigidezza torsionale. Le sezioni sottili pluriconnesse: incognite, equazioni. I flussi di maglia ed il sistema di equazioni (congruenza e equilibrio globale). Esempi di calcolo. La funzione di ingobbamento nel caso di sezioni sottili: l’ingobbamento di linea media e area settoriale. Il taglio nelle sezioni sottili: caso sezioni aperte; caso sezioni chiuse. Esempi di applicazione nel caso di sezioni biconnesse. Le sezioni sottili pluriconnesse a taglio. Casi di sezioni pluriconnesse simmetriche caricate simmetricamente. Fattori di taglio per sezioni sottili generiche. Esempio di determinazione del centro di taglio tramite la costruzione del doppio asse neutro.

CRITERI DI RESISTENZA E SICUREZZA STRUTTURALE

Il comportamento sperimentale dei materiali. La prova monoassiale. Materiali fragili e duttili. Il concetto di coefficiente di sicurezza rispetto ad una tensione di crisi. Stati pluriassiali: il concetto di criterio di resistenza. Il caso dei materiali isotropi. Il criterio di Rankine. Le esperienze di Bridgmann. I criteri per materiali duttili: Tresca, Hencky-Huber-von Mises. Il caso dello stato tensionale piano. Il caso dello stato tensionale di Saint Venant. Tensioni equivalenti secondo Tresca e von Mises. Il criterio della curva intrinseca. Curva intrinseca come inviluppo dei cerchi di Mohr di crisi. Determinazione delle giaciture di crisi tramite il cerchio di Mohr: caso dei materiali duttili isoresistenti e di quelli fragili eteroresistenti. Applicazione: interpretazione di alcuni quadri fessurativi notevoli. Rappresentazione del criterio della curva intrinseca nello spazio delle tensioni principali. Bilatera di Mohr-Coulomb: stati di spinta attiva e di spinta passiva.

Domini di resistenza al limite elastico (esempio: (N,Mx) di sezione a T) e coefficiente di sicurezza allo stato limite elastico

PLASTICITÀ

Introduzione alle nonlinearità materiali. Il legame elasto-fragile e quello elasto-plastico. La trave elasto-plastica. Assunzioni cinematiche. Diagrammi di eps_z e sigma_z. Flessione retta e diagramma momento-curvatura (per sezione rettangolare). Momento di collasso plastico. Calcolo del momento ultimo per sezioni con due simmetria. Calcolo del momento ultimo per sezioni con un asse di simmetria. Scarico della trave elastoplastica in flessione retta: le tensioni residue. Dominio limite (N,Mx). Concetto di cerniera plastica. Analisi evolutiva di strutture idealmente elasto-plastiche. Il carico di collasso. Proprietà del moltiplicatore di collasso. Moltiplicatori staticamente ammissibili e cinematicamente sufficienti. Teorema statico e cinematico del collasso plastico. Unicità del moltiplicatore di collasso. Conseguenze del teorema statico. Ricerca di moltiplicatori cinematicamente sufficienti e di moltiplicatori staticamente ammissibili. Determinazione di un intervallo per il moltiplicatore di collasso plastico.

STABILITÀ

Introduzione al problema della stabilità dell’equilibrio. Richiami sul pendolo rigido. Sistemi rigido-elastici compressi ad un grado di libertà. Equazioni di equilibrio tramite stazionarietà EPT e per per via diretta. Teoria del secondo ordine. Esempi di comportamento post-critico: simmetrico crescente, simmetrico decrescente, asimmetrico. Sistemi rigido-elastici compressi a più gradi di libertà. Matrici di rigidezza elastica e geometrica. Sensibilità alle imperfezioni e legami col comportamento post-critico. Esempio di instabilità a scatto.

Sistemi ad elasticità diffusa. Il problema della trave di Eulero. Formula di Eulero. Travi compresse con diverse condizioni di vincolo. Il concetto di lunghezza libera di inflessione. Esempi applicativi. Limiti di validità della formula di Eulero ed iperbole di Eulero. Verifiche di sicurezza: il metodo omega.

GEOMETRIA DELLE AREE

Geometria delle aree. Momento statico; definizione di baricentro e sue proprietà; momenti del secondo ordine; teoremi di trasporto di Huyghens; variazione delle inerzie con il riferimento; riferimento principale di inerzia. Centro relativo di una retta. Principio di reciprocità; principio di biunivocità; proprietà di allineamento; ellisse principale di inerzia; leggi di polarità ed antipolarità. Costruzioni grafiche per la determinazione del centro relativo di una retta. Nocciolo centrale. Applicazioni.

TRAVI E STRUTTURE MONODIMENSIONALI

Modello di trave: cinematica e misure di deformazione. Equazioni della linea elastica. Distorsioni impresse (variazione termica uniforme ed a farfalla). Trave a mensola: contributi della deformabilità tagliante e flessionale. Schemi notevoli. Equazione della linea elastica del secondo ordine e del quarto ordine. Condizioni al contorno cinematiche e statiche. Vincoli cedevoli elasticamente ed anelasticamente. Il PLV per sistemi di travi. Calcolo di spostamenti su strutture isostatiche tramite PLV. Il metodo dei corollari di Mohr. Il metodo della composizione cinematica.

Simmetria ed emisimmetria nelle strutture: reazioni vincolari, caratteristiche di sollecitazione, componenti di spostamento e rotazione. Spostamenti e sollecitazioni sull’asse di simmetria.

METODO DELLE FORZE

Metodo delle forze. Scelta delle incognite iperstatiche. Equazioni di congruenza. Sistema isostatico equivalente. Matrice di cedevolezza e sue proprietà (simmetria, positiva definitezza). Calcolo di spostamenti su strutture iperstatiche. Equazione dei tre momenti e dei cinque momenti. Equazioni di congruenza tramite PLV.

METODO DEI CEDIMENTI

Metodo dei cedimenti. Scelta dei parametri cinematici da assumere quali incognite principali e cinematismi associati. Vincoli ausiliari. Equazioni di equilibrio tramite principio degli spostamenti virtuali. Matrice di rigidezza e sue proprietà (simmetria, positiva definitezza)

LINEE DI INFLUENZA

Teorema di Betti generalizzato e linee di influenza. Diagrammi dei massimi e minimi di una caratteristica della sollecitazione o di una componente di spostamento. Domini di esercizio. Applicazioni.

STRUTTURE 3D

Verifiche di resistenza su strutture monodimensionali in 3D: generalità, equilibrio, vincoli. Esercizi su strutture isostatiche: caratteristiche e tensioni. Strutture 3D iperstatiche: soluzione con il PLV e verifiche di resistenza. Il caso del taglio non retto. Esempi.

TESTI CONSIGLIATI:

Appunti delle lezioni

Capurso, Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Pitagora Editrice

Viola, Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni, voll. 1,2, Pitagora Editrice

Corradi dell’Acqua, Meccanica delle strutture, vol. 3, cap. 13, McGraw-Hill

MODALITÀ D’ESAME

Le conoscenze e le abilità relative alle nozioni della Scienza delle Costruzioni vengono verificate mediante un esame che si suddivide in una prova scritta ed una orale.

La prova scritta consiste nello svolgimento di due esercizi e nella risposta ad alcune domande di teoria, che coprono i temi trattati a lezione. La valutazione è espressa in trentesimi. Il raggiungimento della sufficienza nella prova scritta (18/30) permette allo studente di accedere alla prova orale.

La prova orale verifica il grado e l’apprendimento delle conoscenze teoriche fornite allo studente. La prova prevede che lo studente illustri argomenti specifici, dimostrazioni teoriche e protocolli di verifica. Il raggiungimento della sufficienza nella prova orale (18/30) permette allo studente di superare l’esame.

Il voto finale, espresso in trentesimi, è determinato sulla base dei voti della prova scritta e di quella orale ottenuti nella medesima prova d'esame.