Geometria Algebrica 2018/2019

1) Premesse algebriche: anelli noetheriani, moduli e localizzazione. Prefasci e fasci su uno spazio topologico.  

2) Spazio affine, Insiemi algebrici affini e topologia di Zariski. Ideali radicali. Hilbert Nullstellensatz. Irriducibilita'.  Varieta' affini: esempi. Anello delle coordinate e campo delle funzioni razionali. Fascio strutturale.  

3) Anelli ed ideali omogenei. Spazio proiettivo, Insiemi algebrici proiettivi. Teorema degli zeri proiettivo. Varieta' proiettive: anello delle coordinate omogenee, campo delle funzioni razionali.  Varieta' quasi-proiettive e localmente chiusi.  Fasci strutturali.  

4) Varieta' algebriche. Morfismi di varieta' algebriche. Insiemi costruibili. Esempi: morfismo di Veronese. Morfismi dominanti. Applicazioni razionali e birazionali. Esempi: sistemi lineari di ipersuperficie di uno spazio proiettivo, proiezioni, scoppiamenti. Scoglimento di singolarita' di curve piane mediante scoppiamenti.   

5)  Prodotti. Varieta' di Segre. Grafico di un morfismo. Completezza delle varieta' proiettive.   

6) Grado di trascendenza di un'estensione di campi. Dimensione di una varieta' algebrica.  

7) Spazi tangenti e non-singolarita'. Spazio tangente di Zariski. Cono  

8) Miscellanea eventuali argomenti ulteriori (tempo permettendo):   - Funzione di Hilbert e Polinomio di Hilbert di una varieta' proiettiva. Grado e genere aritmetico di una varieta' proiettiva. Esempi.   - Morfismi finiti e ramificazione   - Semicontinuita' della dimensione delle fibre di un morfismo dominante.   - Ulteriori esempi di varieta' proiettive: Grassmanniana ed immersione di Pluecker, curve piane proiettive, famiglie di curve piane proiettive.