Metodi Matematici 2017/2018

Nozione di spazio metrico. Disuguaglianza triangolare. Principio delle contrazioni. Teorema sull'esistenza del punto fisso. Spazio Euclideo. Spazi vettoriali a dimensione finita Cn. Disuguaglianza di Schwarz. Dipendenza lineare: metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Operatori lineari. Autovalori e autovettori di matrici: diagonalizzazione. Funzioni di matrice. Commutatori. Formula di Glauber. Matrici Hermitiane. Cambiamenti di base; trasformazioni unitarie e ortogonali. Rotazioni. Equazioni differenziali lineari del I ordine. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni a variabili separabili. Equazione di Bernoulli; equazioni ai differenziali esatti. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti del I ordine. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Equazioni non omogenee. Oscillatore armonico forzato. Spazi funzionali. Operatori lineari nello spazio L2. Operatori differenziali. Formula di Leibniz. Autovettori e autovalori di operatori Hermitiani. Commutatori. Notazione di Dirac. Problemi di Sturm-Liouville. Polinomi di Hermite. Funzione generatrice dei polinomi di Hermite. Relazioni di ricorrenza per i polinomi di Hermite. Oscillatore armonico quantistico. Relazioni di completezza e sviluppo in serie di funzioni. Disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval. Convergenza in media e in media quadratica. Polinomi di Legendre; funzione generatrice e relazioni di ricorrenza. Sviluppo del potenziale di Coulomb in polinomi di Legendre. Sviluppo in serie di Fourier. Sviluppo in serie di seni e coseni. Funzioni pari e dispari. Sviluppo in serie in forma esponenziale. Funzioni di variabile complessa. Funzioni analitiche: condizioni di Cauchy-Riemann. Integrale di Cauchy. Sviluppo in serie di Laurent. Poli e loro ordine; residui. Teorema dei residui. Calcolo di integrali definiti mediante integrazione in campo complesso. Trasformata e anti-trasformata di Fourier. Trasformata e anti-trasformata di Laplace. Trasformata di Fourier del potenziale Coulombiano. Funzione di Green di particella libera. Risoluzione di equazioni differenziali utilizzando la trasformata di Laplace. Campi vettoriali: operatori differenziali in coordinate curvilinee ortogonali; divergenza, gradiente, Laplaciano

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