Logica Matematica 2017/2018

Sistemi assiomatici. Nozione intuitiva di insieme. Assioma di estensionalita'. Assioma della coppia. Formule del linguaggio della teoria degli insiemi. Assioma (schema) di separazione. Assiomi dell'unione e della potenza (o insieme delle parti). Relazioni, funzioni, dominio, codominio, prodotto cartesiano di due insiemi. Insiemi induttivi. Assioma dell'infinito. Intersezione di insiemi. Esistenza dell'insieme di tutte le relazioni (funzioni) da un insieme X ad un insieme Y. Ordini parziali, totali, buoni ordini. Comparabilita' di buoni ordini. Definizione di ordinale e proprieta'. Paradossi di Russell e del "piu' grande cardinale". Classi. Assioma (schema) di rimpiazzamento. Ogni buon ordine e' isomorfo ad un ordinale. Ordinali limite e successori. Induzione trasfinita. Somma e prodotto di due ordinali. Divisione con resto fra ordinali. Esponenziazione ordinale. Monotonia. Forma normale di Cantor. Introduzione ai numeri surreali Somma di due surreali, proprieta' di monotonia. Somma naturale di due ordinali. Segmenti iniziale di un surreale. Segmento iniziale comune di due surreali. Somma naturale come minima operazione strettamente monotona in entrambi gli argomenti. Teorema di Carruth: la somma naturale di due ordinali e' il massimo ordinale che puo' essere espresso come "mixed sum" (somma rimescolata) dei due ordinali. Teorema di Cantor-Schroeder-Bernstein. Cardinali come ordinali iniziali. Funzione di Hartogs. Somma e prodotto di cardinali. Cofinalita' cf alpha di un ordinale alpha. Funzione aleph. Cardinali regolari e singolari. Assioma di scelta e forme equivalenti Definizione di cardinale inaccessibile. Modelli per il linguaggio della teoria degli insiemi. Modelli standard. Chiusura transitiva di un insieme. Relazioni (binarie) ben fondate. Rango di un elemento relativamente ad una relazione ben fondata. Teorema di Mostowski ("collapsing lemma"). Gerarchia V_\alpha di Von Neumann. Assiomi di ZFC soddisfatti da V_\alpha al variare di alpha. Skolemizzazione di una teoria del primo ordine e proprieta' Assioma di fondazione. Principio di \in-induzione. Definibilita' della nozione di soddisfacibilita' per modelli. Classe L degli insiemi costruibili e sue proprieta', Teoremi di Cohen e Easton (senza dimostrazione). Filtri, ultrafiltri, ultraprodotti. Teorema di Los (senza dimostrazione). Ultrafiltri k-completi e cardinali misurabili. Teorema di Scott: se esiste un cardinale misurabile, allora non V=L. Linguaggi infinitari. Analogo del teorema di Los. Cardinali debolmente e fortemente compatti. Un cardinale misurabile e' debolmente compatto. Compattificazione \beta(X) di Stone-Cech di uno spazio X di Tychonoff; esistenza e unicita' (dimostrazione solo nel caso in cui X ha la topologia discreta). D-compattificazione di un sottoinsieme di uno spazio topologico compatto. Ordine di Comfort per ultrafiltri e sua caratterizzazione mediante le D-compattificazioni in beta(X). Variazioni sulla definizione dell'ordine di Comfort. D-pseudocompattezza. Ideali e corrispondenza coi filtri. Somme e prodotti di filtri e ultrafiltri. Isomorfismo dei corrispondenti ultraprodotti o prodotti ridotti. (Pre-)ordine \leq_{RK} di Rudin-Keisler. E' piu' fine dell'ordine di Comfort.