Analisi Matematica 2016/2017

PROGRAMMA DEL CORSO:

Il testo consigliato e:

Matematica, Bramanti, Pagani, Salsa  ed. Zanichelli

La programma del corso e;

INSIEMI NUMERICI

Insiemi, numeri naturali, interi, razionali, principio di induzione, progressione geometrica,  binomio di Newton, gli

assiomi dei numeri reali, massimo e minimo, estremo inferiore ed estremo superiore. Funzioni e rappresentazione

cartesiana, funzioni iniettive, suriettive, biettive, funzioni composte, funzioni invertibili, monotone, lineari,

simmetriche, periodiche, limitate. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di una funzione. Funzione

valore assoluto, potenze, radicali, esponenziali, logaritmi, funzioni iperboliche, funzioni trigonometriche. Operazioni

sui grafici.

SUCCESSIONI 

Introduzione al calcolo infinitesimale, successioni, limiti di successioni, teorema di unicità del limite, successioni

limitate, operazioni con i limiti, teorema della permanenza del segno e conseguenze, teorema dei carabinieri,

successioni infinitesime, teorema sul limite del prodotto di successioni limitate per successioni convergenti. Forme

indeterminate. Successioni monotone, teorema sul limite di successioni monotone, limiti notevoli, confronti e stime

asintotiche, infiniti di ordine crescente, criterio del rapporto per successioni(s.d.).

SERIE

Criteri di convergenza: Raporto, Radice, Leibniz. La seria armonica

FUNZIONI DI UNA VARIABILE: LIMITI E CONTINUITA'

Definizione di limite nei diversi casi, teorema sul legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni, limiti notevoli,

operazioni con i limiti di funzioni. Funzioni continue, discontinuità, teorema sulla permanenza del segno, teorema degli

zeri, teorema di valori intermedi,

CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Derivata di una funzione, significato geometrico, equazione della retta tangente, derivate di funzioni elementari, punti

di non derivabilità, operazioni con le derivate, teorema di derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse.

Differenziale e approssimazione lineare. Punti stazionari, massimi e minimi locali, teorema di Fermat, teoremi di Rolle

e di Lagrange, criterio di monotonia, teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Ricerca dei

massimi e minimi. funzioni concave e funzioni convesse, criterio di convessità per funzioni derivabili (s.d.). Teorema di

De L'Hospital (s.d.). Studio del grafico di una funzione.  Sviluppo Taylor

CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI  DI UNA VARIABILE

Il metodo di esaustione, introduzione all'integrazione secondo Riemann: definizioni e notazioni, proprietà delle somme

integrali,  definizione di integrale definito, criterio di integrabilità(s.d.), proprietà dell'integrale definito, integrabilità

delle funzioni continue e delle funzioni monotone(s.d.), teorema della media integrale. Integrale indefinito, definizione

di primitiva, caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo, la funzione integrale,  primo e secondo

teorema fondamentale del calcolo integrale, metodi elementari per la ricerca di una primitiva,  calcolo di integrali

definiti e indefiniti,  integrazione per parti e per sostituzione, integrazione di funzioni razionali fratte, integrazione di

funzioni irrazionali. Applicazioni geometriche dell'integrale definito.  Integrali impropri. Lunghezza di una curve

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1) Equazioni quasilineari del primo ordine. Caratteristiche, metodi di

integrazione. Caratteristiche e classi_cazione di equazioni del secondo ordine Nomenclatura sulle equazioni differenziali. Equazionidel primo ordine: a variabili separabili e lineari. Struttura delle soluzioni di un’equazione lineare di ordine n. Equazionidifferenziali lineari a coefficienti costanti (dim per II ordine caso _ > 0 e _ = 0). Equazioni non omogenee: metodo della variazione dei parametri e dei coefficienti indeterminati.