Calcolo 2 2016/2017

Spazi metrici. Distanza, intorni, insiemi aperti e chiusi, convergenza. Spazi metrici compatti. Spazi metrici completi. Lemma delle contrazioni. Spazi di Hilbert. Successioni ortonormali.

Equazioni differenziali. Problema di Cauchy per sistemi differenziali del primo ordine, teorema di esistenza e unicità della soluzione. Alcune classi di equazioni del primo ordine. Prolungamento delle soluzioni e soluzione massimale. Dipendenza continua dai dati. Equazioni e sistemi differenziali lineari. Soluzione fondamentale. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni e sistemi a coefficienti costanti. Flusso associato a un campo di vettori. Insiemi alfa-limite e omega-limite. Stabilità di un punto di equilibrio secondo Liapunov. Criterio di linearizzazione. Funzioni e teorema di Liapunov.

Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Integrali multipli, teorema di Fubini, formula di cambiamento di variabile. Superfici e integrali di superficie. Formula di Gauss-Green nel piano e applicazioni. Formula di Stokes. Potenziale vettore.

Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier, serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel. Criteri di convergenza puntuale per le serie di Fourier delle funzioni regolari a tratti: casi di convergenza uniforme. Uguaglianza di Parseval. Fenomeno di Gibbs. Applicazione delle serie di Fourier alla soluzione dell’equazione del calore e delle onde su domini limitati.

Trasformata di Fourier. Trasformata di funzioni sommabili, proprietà albegriche e differenziali della trasformata. Lemma di Riemann-Lebesgue. Trasformata di una convoluzione e inversione della trasformata. Trasformata di funzioni a decrescenza rapida. La trasformata nella classe delle funzioni di quadrato sommabile e teorema di Plancherel. Teorema di Shannon. Applicazione della trasformata di Fourier alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie, dell’equazione del calore e di quella delle onde su domini illimitati.