Cenni storici sugli sviluppi della Logica Matematica e della Teoria degli Insiemi nell'Ottocento e nel Novecento. Paradossi. Il problema dei Fondamenti della Matematica. Il Programma di Hilbert. Natura e limiti della Logica Matematica. Sistemi assiomatici. Sistemi formali: linguaggio; formule ben formate; assiomi; dimostrazioni. Il calcolo proposizionale: connettivi, tavole di verita', tautologie; sua formalizzazione. Il teorema di deduzione.
Il calcolo dei predicati del primo ordine; modelli, soddisfacibilità. Cenni ai risultati di incompletezza e collegamenti col programma di Hilbert. Teorema di Compattezza e applicazioni. Modelli non standard.
Introduzione all'Analisi non standard; infiniti e infinitesimi, parte standard. Condizioni equivalenti in termini non standard delle nozioni di limite, continuita', continuita' uniforme. Caratterizzazione delle teorie (al primo ordine) chiuse per sottomodelli. Teorema di Lowenheim-Skolem. Paradosso di Skolem. Filtri, ultrafiltri, prodotti ridotti, ultraprodotti. Il Teorema di Los.
Cenni all'assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Concezione "iterativa" degli insiemi (gerarchia cumulativa di Von Neumann). Insiemi bene ordinati. Principio del Buon Ordinamento. Cenni agli ordinali; esempi di costruzioni mediante iterazioni transfinite.
F-convergenza di una sequenza di elementi di uno spazio topologico, dove F e' un filtro. Cenni ad applicazioni topologiche.
Algebre libere; teorema di Birkhoff: caratterizzazione delle teorie equazionali.
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