Meccanica Quantistica E Statistica 2012/2013

Programma del corso di Meccanica Quantistica

Docente: Daniele Di Castro

1) Richiami di Meccanica Classica:

1.1:  Punto materiale, gradi di libertà e coordinate generalizzate

1.2:

1.2.1: Principio di Hamilton, funzione lagrangiana ed equazioni di Lagrange (equazioni del moto)

1.2.2: sistemi inerziali, principio di relatività di Galileo, proprietà di dello spazio e del tempo

1.2.3: lagrangiana per un punto materiale libero e per un sistema di particelle non interagenti ed interagenti (energia potenziale)

1.2.4: lagrangiana per un sistema di particelle interagenti in coordinate generalizzate

1.2.5: punto materiale in un campo esterno, vincoli: es. pendolo doppio.

1.3: Leggi di conservazione:

1.3.1: Integrali primi da proprietà dello spazio e del tempo, coordinate cicliche:

1.3.2: Conservazione dell’energia, momento generalizzato, energia totale in coordinate generalizzate

1.3.3: conservazione della quantità di moto, centro di massa

1.3.4: conservazione del momento angolare.

1.4:

1.4.1: Integrazione delle equazioni del moto, soluzione a partire dagli integrali primi;

1.4.2: Moti  unidimensionali; problema dei due corpi e massa ridotta;

1.4.3: moto in un campo a simmetria centrale; esempio di campo coulombiano; moti finiti e moti infiniti;

1.4.4: oscillatori liberi, forzati, forzati e smorzati.

1.5: Trasformata di Legendre, funzione Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton; Hamiltoniana per un punto materiale

1.6: parentesi di Poisson.

2) Meccanica Quantistica

            2.1: Concetti base della meccanica quantistica:

principio di indeterminazione; spazio delle configurazioni e funzione d’onda; grandezze (osservabili) fisiche; principio di sovrapposizione; operatori, autofunzioni e autovalori (spettro discreto e continuo); coefficienti di espansione; valor medio di una grandezza fisica; operatore trasposto, hermitiano coniugato, inverso; operatori hermitiani; commutatore di due operatori e concetto di operatori definiti simultaneamente; operazioni tra operatori; caratteristiche dello spettro continuo, esempio dell’operatore delle coordinate; concetto di misura in meccanica quantistica.

2.2:

2.2.1: Limite classico della funzione d’onda;

2.2.2: equazione d’onda e operatore hamiltoniano;

2.2.3: derivazione di operatori rispetto al tempo e grandezze fisiche conservative;

2.2.4: energia e funzione d’onda degli stati stazionari; spettro discreto e continuo degli autovalori dell’energia, moto finito (stati legati) e infinito.

2.3:

2.3.1 Matrici: elementi di matrice di un operatore; matrici hermitiane; prodotto tra matrici;

2.3.2: Quantità di moto: operatore di traslazione infinitesima; conservazione della quantità di moto; operatore quantità di moto; autovalori e autofunzioni; operatore di traslazione finita.

2.3.3: Equazioni agli autovalori per una grandezza nella rappresentazione dell’energia (stati stazionari); matrici in forma diagonale; set completo comune di autofunzioni.

2.3.4: Trasformazioni di matrici; traccia di una matrice

2.3.4: Relazioni di indeterminazione.

2.4:

2.4.1: Hamiltoniana per un sistema di particelle libere, interagenti e in campo esterno;

2.4.2: Equazione di Schrödinger per una particella libera e autofunzioni;

2.4.3: limite classico dell’equazione di Schrödinger;

2.4.4: proprietà fondamentali dell’equazione di Schrödinger e della funzione d’onda soluzione dell’equazione in base ai valori dell’energia e alle caratteristiche del potenziale; proprietà dello stato fondamentale;

2.4.5; Operatore densità di corrente ed equazione di continuità per la densità di probabilità.

2.5: Moti unidimensionali:

2.5.1: equazione di Schrödinger e proprietà generali fondamentali;

2.5.2: buca di potenziale a pareti infinite; potenziale a gradino; coefficienti di trasmissione e di riflessione (carattere ondulatorio della particella); buca di potenziale a pareti finite; barriera di potenziale ed effetto tunnel;

2.5.3: oscillatore armonico I: soluzione da equazione di Schrödinger;

2.5.4: definizione e proprietà dei ket di stato; spettro discreto e spettro continuo; osservabile posizione e funzione d’onda; operazione di misura;

2.5.5: oscillatore armonico II: soluzione da operatori di creazione e distruzione.

            2.6. Momento angolare:

2.6.1: operazione di rotazione infinitesima; conservazione del momento angolare; operatore momento angolare;

2.6.2: relazioni di commutazione tra le il modulo quadro del momento angolare, le componenti del momento angolare, le coordinate e le quantità di moto; commutatività con l’hamiltoniana;

2.6.3: momento angolare in coordinate polari;  autovalori e autofunzioni del momento angolare lungo z, lz; operatori di innalzamento e di innalzamento; autovalori del modulo quadro del momento angolare l2.

2.6.4: elementi di matrice degli operatori di innalzamento e abbassamento e delle componenti del momento angolare

2.6.5: autofunzioni del momento angolare: autofunzioni di lz e l2 e armoniche sferiche.

            2.7: Moto in un campo a simmetria centrale:

2.7.1: problema dei due corpi; massa ridotta; riduzione ad un moto in un campo a simmetria centrale; equazione di Schrödinger per la parte radiale della funzione d’onda e potenziale efficace (barriera centrifuga);

2.7.2: moto in campo coulombiano attrattivo: atomo di idrogeno; autofunzioni e autovalori.

            2.8: Spin:

2.8.1: concetto di spin; relazioni di commutazione; autovalori di sz e s2; spin intero o semi intero; spinori; elementi di matrice delle componenti dello spin: matrici di Pauli per l’operatore di spin in due dimensioni;  autoket di sz come base;

2.8.2: momento angolare totale (spin piu’ momento angolare orbitale); composizione di momenti angolari.

            2.9: Particelle identiche:

2.9.1: concetti di indistinguibilità in meccanica quantistica;

2.9.2: due particelle identiche di spin 1/2; ket di stato (indice collettivo);

2.9.3: operatore di scambio; stati simmetrici e antisimmetrici

2.9.4: principio di Pauli; fermioni e bosoni; stato di N particelle identiche fermioniche e bosoniche; funzione d’onda per fermioni e bosoni.

Testi di riferimento:

Parte 1): L. D. Landau & E. M. Lifshitz, “Meccanica”; H. Goldstein: “Meccanica Classica”

Parte 2): L. D. Landau & E. M. Lifshitz, “Meccanica Quantistica, Teoria non relativistica”; S. Gasiorowicz, “Quantum Physics”; J. J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”