Geometria 2012/2013

Programma del corso di Geometria, Prof. Vincenzo Di Gennaro, Ingegneria Informatica, 9 crediti,

1 ottobre 2012 - 2 febbraio 2013

Capitolo 1: SPAZI VETTORIALI

1.1 Definizione di spazio vettoriale e proprieta' di calcolo. 1.2

Esempi: gli spazi numerici, gli spazi di matrici, gli spazi

geometrici, lo spazio dei polinomi. 1.3 Nozione di sottospazio,

sottospazio generato, sistema di generatori. 1.4 Sistemi

linearmente indipendenti e sistemi linearmente dipendenti. 1.5 Il

Lemma di Steinitz. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. 1.6

Intersezione e unione di sottospazi, formula di Grassmann.

Capitolo 2: MATRICI

2.1 Matrici diagonali, simmetriche, triangolari. Trasposta di una

matrice. Prodotto punto di vettori. Prodotto tra matrici. 2.2

L'algebra delle matrici quadrate. Generalita' sull'inversa e

sulla trasposta di una matrice. 2.3 Operazioni e matrici

elementari. Matrici a scala. L'algoritmo di Gauss. 2.4 Rango di

una matrice. Teorema del rango. Calcolo del rango tramite le

operazioni elementari. 2.5 Determinante: sviluppo di Laplace,

proprieta' e calcolo tramite le operazioni elementari. 2.6

Calcolo del rango tramite i determinanti: minore fondamentale di

una matrice. Il Teorema degli Orlati. 2.7 Calcolo esplicito

dell'inversa di una matrice: l'aggiunta classica e l'Algoritmo di

Gauss - Jordan.

Capitolo 3: SISTEMI LINEARI

3.1 Generalita' sui sistemi lineari e notazione matriciale. 3.2

Il Teorema e la Regola di Cramer. 3.3 Sistemi lineari compatibili

ed il Teorema di Rouche'-Capelli. 3.4 Sistemi equivalenti,

operazioni elementari su un sistema lineare. 3.5 Variabili libere

e rappresentazione parametrica delle soluzioni di un sistema

lineare. 3.6 Sistemi lineari omogenei: rappresentazione

parametrica e cartesiana di un sottospazio. 3.7 Sistema lineare

omogeneo associato.

Capitolo 4: APPLICAZIONI LINEARI

4.1 Coordinate in uno spazio vettoriale. 4.2 Applicazioni lineari.

Matrice rappresentativa di un'applicazione lineare. Matrice del

cambiamento delle coordinate. Costruzione di applicazioni lineari.

Corrispondenza tra applicazioni lineari e matrici. 4.3 Struttura

di un'applicazione lineare: nucleo, immagine, immagini dirette,

immagini inverse. Il teorema della dimensione. Isomorfismi. 4.4

Autovalori ed autovettori per un endomorfismo. Il polinomio

caratteristico. Autospazi. Algoritmo per la diagonalizzazione di

una matrice.

Capitolo 5: LA FORMA CANONICA DI UN OPERATORE LINEARE

5.1 Generalita' sui polinomi. Teorema fondamentale dell'Algebra.

5.2 Matrici a blocchi e proprieta' generali. Sottospazi

invarianti di un operatore e matrici a blocchi. 5.3 Blocchi di

Jordan. Stringhe. Il teorema di Jordan sulla forma canonica di un

operatore. Operatori nilpotenti. Calcolo esplicito di una base a

stringhe per un operatore. Calcolo della forma canonica senza

conoscere una base a stringhe. 5.4 Polinomio minimo. Il teorema di

Cayley-Hamilton.

Capitolo 6: SISTEMI LINEARI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

6.1 Sistemi lineari di equazioni differenziali. Equazione omogenea

associata. Integrale generale. Problema di Cauchy. 6.2 Calcolo

esplicito dell'integrale generale con l'uso dell'esponenziale di

una matrice. 6.3 Decomposizione in fratti semplici di una funzione

razionale. Calcolo esplicito dell'integrale generale con l'uso

della trasformata di Laplace.

Capitolo 7: FORME QUADRATICHE

7.1 Forme bilineari simmetriche. Matrici simmetriche. Forme

quadratiche. Matrice di Gram. Matrici congruenti. 7.2 L'algoritmo

di Gauss-Lagrange. Basi ortogonali in uno spazio pseudoeuclideo.

Legge di inerzia: indice, segnatura e rango di una matrice

simmetrica. 7.3 Forma canonica rispetto alla congruenza. Forme

definite, semidefinite ed indefinite. Criterio dei minori

principali. 7.4 Spazi euclidei. Norma in uno spazio euclideo.

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Proprieta' della norma

euclidea. 7.5 Coefficiente di Fourier. Proiezioni ortogonali.

Complementi ortogonali. Matrici di proiezioni ortogonali. Basi

ortonormali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

Matrici ortogonali. 7.6 Operatori in uno spazio euclideo.

Operatore aggiunto. Operatore autoaggiunto. Autovalori di una

matrice simmetrica. Il Teorema degli Assi Principali. Il Teorema

Spettrale. Il criterio di Cartesio. 7.7 Massimo di una forma

quadratica soggetta ad un vincolo. 7.8 Valori singolari e

decomposizione ai valori singolari di una matrice. Il Teorema di

decomposizione polare.

Bibliografia consigliata per i primi 4 capitoli.

S. Abeasis, Elementi di Algebra Lineare e Geometria, Ed. Zanichelli

E. Ciriza, dispense sulla pagina web http://www.mat.uniroma2.it/~ciriza/

L. Geatti, dispense sulla pagina web http://www.mat.uniroma2.it/~geatti/

W. Keith Nicholson, Algebra lineare, Dalle applicazioni alla teoria, Editore McGraw-Hill

S. Lipschutz, Algebra Lineare, Ed. McGraw-Hill

 Bibilografia consigliata per i successivi capitoli:

V. Di Gennaro, Appunti del corso, http://www.mat.uniroma2.it/~digennar/

S. Abeasis, Complementi di algebra lineare, Ed. Zanichelli.

N. Bakhvalov, Methodes Numeriques, Ed. Mir.

M. Barnabei- F.Bonetti, Forme quadratiche e forme bilineari simmetriche, Ed. Pitagora.

S. Lipschutz, Algebra lineare, Ed. Schaum.

Mac Lane-Birkhoff, Algebra, Ed. Mursia.

Salsa-Squellati, Esercizi di Analisi 2, Ed. Zanichelli.

V.V.Voyevodin, Linear Algebra, Ed. Mir.