1. [I]nfo
  2. [M]oduli
  3. [B]acheca
  4. [P]rogramma
  5. [O]rari
  6. [E]sami
  7. E[v]enti
  8. [F]iles

Programma di Algebra Commutativa:

1 - ANELLI, IDEALI, MORFISMI    Anelli, morfismi tra anelli - ideali, quozienti - Teorema Fondamentale di Omomorfismo, Teoremi di Isomorfismo - ideali primi, ideali massimali - anelli locali, anelli semilo-cali - radicale nilpotente, radicale di Jacobson – operazioni su ideali – prodotto diret-to di anelli – Teorema Cinese dei Resti (generalizzato).   2 - MODULI, PRODOTTO TENSORIALE, ALGEBRE    Moduli su anelli, rappresentazioni di anelli; morfismi tra moduli - sottomoduli, quozienti – Teorema Fondamentale di Omomorfismo – operazioni sui sottomoduli - Teoremi di Isomorfismo – torsione - prodotto e somma diretti di moduli.   Moduli liberi, basi – moduli liberi su un insieme – esistenza di basi per spazi vettoriali – equicardinalità di basi di uno spazio vettoriale - equicardinalità di basi di un modulo libero - Lemma di Nakayama - successioni esatte (di morfismi).   Prodotto (multi)tensoriale di moduli - restrizione ed estensione di scalari.   Algebre, morfismi tra algebre – prodotto tensoriale di algebre commutative.   3 - ANELLI E MODULI DI FRAZIONI    Anelli di frazioni (e loro proprietà universale) - Moduli di frazioni, relazione con anelli di frazioni (via estensione di scalari) - Ideali primi in un anello di frazioni.   4 - MODULI E ANELLI NOETHERIANI E ARTINIANI   Condizioni sulle catene in un insieme ordinato – moduli/anelli noetheriani o artiniani - serie di composizione - tutte le serie di composizione di un modulo hanno la stessa lunghezza – “lunghezza finita = noetherianità & artinianità” - il caso degli spazi vettoriali – “noetherianità = finitezza dei sottomoduli”.   Anelli noetheriani e artiniani – criterio in un anello (tramite ideali massimali) per avere “noetheriano Ûartiniano”.   Teorema della Base di Hilbert - Teorema di Zariski - Teorema degli Zeri di Hilbert (forma debole) – decomposizione primaria di ideali negli anelli noetheriani.   Dimensione di Krull di un anello – caratterizzazione degli anelli artiniani: A è artiniano ÛA è noetheriano e ha dimensione di Krull zero.   5 - MODULI SUI DOMINI A IDEALI PRINCIPALI (PID)   Ogni sottomodulo di un modulo libero è libero – “finitamente generato (=f.g.) & senza torsione Þlibero” - ogni modulo f.g. si spezza in somma diretta di parte libera e sottomodulo di torsione (f.g., quindi “t.f.g.”).   Decomposizione ciclica di un modulo f.g. tramite parte libera e divisori elementari - decomposizione ciclica di un modulo f.g. tramite parte libera e invarianti - relazione tra le due decomposizioni cicliche di un modulo t.f.g.   Applicazione all'anello degli interi Z: gruppi abeliani finitamente generati.

  Applicazione al caso dei moduli V sull'anello k[x] (k campo): forme canoniche di matrici (razionale, di Jordan) - decomposizione (additiva) di Jordan-Chevalley di un endomorfismo di V (con tutti gli autovalori in k): esistenza, espressione polinomiale, unicità; decom-posizione della somma di due tali endomorfismi commutanti tra loro - decomposizione (mol-tiplicativa) di Jordan-Chevalley di un automorfismo di V (con tutti gli autovalori in k): esistenza, espressione polinomiale, unicità; decomposizione del prodotto di due tali automorfismi commutanti tra loro.
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