Analisi Matematica I 2011/2012

- Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici, numeri reali. - Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore. - Nozioni generali sulle funzioni di variabile reale. - Successioni. Il principio di induzione. Limiti di successioni: definizione e proprietà. Soluzione di alcune forme indeterminate. - Teoremi di permanenza del segno e di confronto. - Successioni monotone. Il numero di Nepero. - Sottosuccessioni. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass. - Limiti di funzioni: definizioni e proprietà. Calcolo e forme indeterminate. - Funzioni continue. Punti di discontinuità. - Teorema degli zeri. - Il Teorema di Weierstrass. - La funzione inversa. - Derivate: definizioni e proprietà. Interpretazione geometrica, retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni elementari, regole di calcolo. - Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e applicazioni. Studio della monotonia, estremi relativi, punti stazionari. - Derivate seconde e convessità. Studio del grafico. - Il Teorema di L'Hopital. Polinomio di Taylor e sue proprietà. Applicazioni al calcolo dei limiti. - Inversione dell' operazione di derivazione e calcolo di aree: l'integrale di Riemann. - Integrali definiti e indefiniti. Integrabilità delle funzioni monotone. - Teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione integrale. - Integrazioni per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. - Integrali impropri; criteri di convergenza. - Serie numeriche. Serie geometrica, serie armonica. - Criteri di convergenza per serie a termini positivi: confronto, radice, rapporto. - Legami tra serie e integrali impropri. - Criterio di Leibniz. Convergenza assoluta. - Numeri complessi. Forma cartesiana e trigonometrica. Radici n-sime.