Analisi Di Fourier 2009/2010

Spazi lineari normati. Norma L2 e ortogonalita`. Successioni di Cauchy
e completezza. Norma uniforme.

Convergenza uniforme e convergenza puntuale di successioni e serie di
funzioni. Integrale di Lebesgue e passaggio al limite sotto il segno
di integrale. Integrali multipli e Teorema di Fubini.

Norme Lp. Densita' delle funzioni continue in Lp. Densita' delle
funzioni C1 a tratti negli
spazi Lp. Inclusioni fra spazi Lp.

Spazi di Hilbert. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel.
Sistemi ortonormali completi,

identita' di Parseval e sviluppi ortonormali. Proiezioni ortogonali
e migliore approssimazione nella norma hilbertiana. Serie di Fourier
(trigonometriche ed in forma complessa): convergenza L2, puntuale ed
uniforme.  Ordine di infinitesimo dei coefficienti di Fourier.
Fenomeno di Gibbs (tempo permettendo). Identita' approssimate.
Convoluzioni e nuclei di sommabilita' (cenni)

Trasformata di Fourier in L1. ed in L2 . Trasformata di Fourier della
derivata e della convoluzione. Teorema di inversione e teorema di
Plancherel. Classe di Schwartz. La trasformata di Fourier nella
classe di Schwartz. Classe di Paley-Wiener. Formula di somma di
Poisson. Distribuzioni temperate e loro trasformata di Fourier
(trattazione completa o per cenni a seconda della disponibilita' di
tempo). Trasformata di Fourier di distribuzioni discrete e periodiche
e relazione con la serie di Fourier. Campionamento. Teorema di
Shannon. Aliasing.

Trasformata di Fourier discret e sue proprieta'. Trasformata rapida
di Fourier. Trasformata discreta dei coseni.