Calcolo 2009/2010

Numeri naturali,  interi e razionali, numeri reali: proprieta' e
costruzione a partire dai numeri naturali. Estremo superiore ed
estremo inferiore. Numeri complessi. Concetto di funzione. Funzioni
monotone. Funzioni invertibili. Funzione inversa. Logaritmo. Insiemi
aperti e chiusi e loro proprieta'. Definizione di successione.
Successioni monotone. Limiti di funzioni
e di successioni. Massimo e minimo limite. Insiemi compatti. Numero
e. Infiniti e infinitesimi: simboli o e O e loro proprieta'.
Limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuita'. Asintoti
verticali, orizzontali ed obliqui.

Serie numeriche e loro convergenza. Criterio di Cauchy. Serie a
termini positivi: criterio del confronto, del rapporto, della radice
e delle somme diadiche. Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz.
Convergenza assoluta e convergenza semplice. Riordinamento e teorema
di Riemann. Serie di potenze.

Continuita' della funzione composta e della funzione inversa.
Proprieta'  delle funzioni continue ed invertibili sugli intervalli e
sui compatti. Teorema di esistenza degli zeri. Metodo di bisezione e
teorema di Weierstrass sui massimi  e minimi delle funzioni continue
sui compatti. Derivata di una funzione. Derivata della funzione
composta e della funzione inversa. Teoremi di Rolle, Lagrange,
Cauchy, Hospital. Studio del grafico di funzioni reali di variabile
reale; funzioni convesse;

Formula di Taylor e sue applicazioni. Serie di potenze; serie di
Taylor.Funzioni primitive; integrali indefiniti, finiti e impropri; teorema
fondamentale del calcolo; integrali per sostituzione e per parti;
calcolo di aree; criteri di integrabilita'; criterio di confronto fra
serie ed integrali impropri.

Serie di funzioni; convergenza puntuale, uniforme e convergenza
totale delle serie di funzioni.

Funzioni reali di piu' variabili: definizioni fondamentali di
topologia in R^2; limiti e continuita' in piu'
variabili; derivate parziali e differenziale; derivazione delle
funzoni composte  (regola della catena); derivate successive;massimi
e minimi liberi; studio della natura dei punti critici. Funzioni di
piu' variabili a valori vettoriali: trasformazioni di
coordinate; coordinate polari nel piano e coordinate sferiche nello
spazio. Calcolo integrale per funzioni di
piu' variabili: integrazione multipla in R2 e R3; calcolo di
integrali doppi o tripli mediante formule di riduzione; integrazione
in coordinate polari e in coordinate sferiche. Curve e loro
parametrizzazione: arco di curva continua e regolare; lunghezza di un
arco di curva, parametro arco.

Tempo permettendo: integrali curvilinei; lavoro di un campo di forze;
parametrizzazione di superficie regolari; integrali di superficie.
Visualizzazione di argomenti tipici del Calcolo tramite Matlab.