Geometria 2009/2010

Spazi vettoriali, sottospazi lineari, indipendenza lineare, base, dimensione, applicazioni lineari, esempi. Matrici, la descrizione di applicazioni lineari tramite matrici, trasformazioni elementari sulle righe e sulle colonne, risoluzione di sistemi lineari, invertibilità, calcolo della matrice inversa, rango di una matrice, la matrice di un cambiamento di base. Prodotto scalare, la disuguaglianza di Schwarz, norma, ortogonalità, basi ortogonali, proiezione ortogonale, ortogonalizzazione secondo Gram-Schmidt, matrici ortogonali. Determinanti, descrizione, calcolo, significato dell’annullamento, la formula di Cramer. Autovalori ed autovettori, polinomio caratteristico, diagonalizzazione di matrici, il caso delle matrici simmetriche. Cenni sulla triangolarizzazione e forma canonica di Jordan. Geometria analitica. Rette nel piano, rette e piani nello spazio tridimensionale, esempi in dimensione n. Proiezioni ortogonali. Calcolo dell’altezza di un triangolo. Cerchi e sfere. Rette e piani tangenti ad una sfera. Distanza di un punto daun piano o da una sfera. Parabole. Iperboli. Basi ortonormali. Geometria affine: Vettori applicati e vettori liberi nel piano e nello spazio. Riferimenti cartesiani. Cambiamenti di coordinate. Componenti dei vettori in un riferimento. Rette e piani. Affinità, similitudini e movimenti: traslazioni, omotetie, scalings, simmetrie, ribaltamenti, riflessioni, rotazioni, glissoriflessioni. Geometria proiettiva e descrittiva: Piano e spazio proiettivi.Coordinate omogenee. Equazioni omogenee di rette e piani. Cambiamenti di coordinate omogenee. Proiettività. Proiezioni. Teorema di Desargues. Proiezione centrale: punti, rette e piani. Proiezioni ortogonali di Monge. Rappresentazioni di oggetti in assonometria: punti, rette e piani. Assonometria obliqua e ortogonale. Per tutti i tipi di proiezione, condizioni di parallelismo di rette e di piani, condizione di appartenenza di una retta a un piano, condizione di complanarità di rette non parallele, appartenenza di un punto ad una retta.