I parte. Topologia Generale (50 ore in totale).
Spazi topologici, aperti, chiusi, intorni. Applicazioni continue, aperte, chiuse, omeomorfismi (10 h).
Basi e sottobasi di una topologia. Chiusura, frontiera, parte interna. Topologia di
sottospazio. Topologia prodotto. Topologia quoziente (10 h).
Spazi metrici. Primo e secondo assioma di numerabilità. Spazi T0, T1, T2. Definizione di
spazi T3 e T4 (10 h).
Compattezza. Criterio compatto-T2. Prodotto di compatti. Teorema di Heine Borel in R^n.
Equivalenza di compattezza sequenziale e compattezza in spazi metrici. Teorema
dell’'intersezione di Cantor. Compattificazione di Alexandroff (10 h).
Connessione. Componenti connesse. Connessione per archi.
Insieme di Cantor (10 h).
II parte. Curve e superficie differenziabili in IR^3 (40 ore in totale).
Curve differenziabili in R^3. Parametrizzazioni. Lunghezza di un arco di curva ed ascissa
curvilinea. Curvatura e torsione. Versori tangente, normale e binormale. Formule di Frenet (20 h).
Superfici regolari in R^3. Superfici rigate e superfici di rotazione. Forme differenziali su una
porzione di superficie regolare in R^3. Proprietà locali: piano tangente in un punto ad una
porzione di superficie regolare in R^3. Prima forma quadratica fondamentale. Area di una
porzione di superficie regolare. Mappa di Gauss. Seconda forma quadratica fondamentale.
Curvature. Punti ellittici, iperbolici e parabolici. Theorema Egregium di Gauss (20 h).
Il programma è il medesimo per gli studenti frequentanti e non frequentanti.
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