1. Numeri naturali, interi, razionali. Principio di induzione e binomio di Newton.
Numeri reali e loro proprietà. Estremo superiore ed inferiore.
2. Numeri complessi, rappresentazione cartesiana e polare. Esponenziale complesso,
formula di Eulero e radici complesse.
3. Funzioni reali di una variabile: dominio, immagine e grafico. Funzioni monotone e
invertibili. Funzioni esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.
4. Limite di una successione: definizione e proprietà. Successioni monotone.
Successioni infinitesime, infinite e confronti. Forme indeterminate. Il numero di Nepero. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
5. Topologia sulla retta reale. Limite di una funzione: definizione e proprietà. Infinitesimi, infiniti, confronti tra infinitesimi e infiniti, forme indeterminate, limiti notevoli. Simbolo o-piccolo.
6. Funzioni continue. Teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi. Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass.
7. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivabilità e retta tangente. Regole di derivazione. Derivata delle funzioni elementari. Estremi locali e derivate. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Derivata prima e monotonia. Derivata seconda e convessità. Studio del grafico di funzioni. Teorema di de L’Hôpital. Polinomio di Taylor e applicazioni al calcolo di limiti.
8. Calcolo integrale. Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazioni di funzioni elementari. Metodi di integrazione: integrazione per parti, per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
9. Serie positive: teoremi di confronto. Teorema del confronto integrale. Serie geometrica e serie armonica generalizzata. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz. Integrali impropri e studio della loro convergenza.
10. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
11. Introduzione al calcolo differenziale in più variabili. Derivate parziali. Definizione di gradiente e equazione del piano tangente. Matrice Hessiana e formula di Taylor fino al secondo ordine. Studio della natura dei punti critici nei casi più semplici.
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