Analisi Matematica I 2025/2026

Insiemi numerici. Numeri reali e loro proprietà. Assioma di completezza. Estremo superiore e inferiore. Numeri complessi e loro proprietà. Forma cartesiana e trigonometrica. Radici n-esime. Funzioni: nozioni di base, dominio, immagine, funzione inversa. Funzioni elementari e loro proprietà: potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse. Successioni, limiti di successioni. Calcolo di limiti, forme indeterminate. Limiti notevoli. Il numero e. Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Il teorema di completezza di Cauchy. Limiti e continuità per funzioni di una variabile. Teoremi sulle funzioni continue. Derivata: definizione, interpretazione geometrica. Calcolo delle derivate, derivate delle funzioni elementari. Applicazioni delle derivate allo studio della monotonia, dei massimi e minimi e della convessità delle funzioni. Studio del grafico di funzioni. Teorema di De L’Hopital, formula di Taylor. Applicazioni al calcolo di limiti. Integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali. Formula di integrazione per sostituzione e per parti. Integrali impropri. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari e a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

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Insiemi numerici: naturali, interi, reali, complessi e loro proprietà. Funzioni elementari di variabile reale e loro grafici. Successioni e loro limiti. Limiti di funzioni e continuità. Calcolo differenziale e proprietà delle funzioni derivabili. Approssimazione locale, polinomio di Taylor e sue applicazioni. Studio del grafico di funzioni. Integrale di Riemann e teorema fondamentale del calcolo. Integrali impropri. Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili.

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- Cenni di teoria degli insiemi. Numeri reali e loro proprietà. - Estremo superiore e inferiore e loro proprietà. - Nozioni di base: dominio, immagine, grafico. - Funzioni monotone e funzioni invertibili. - Richiami sulle funzioni elementari. - Limiti di successioni: definizione e proprietà. - Il principio di induzione. - Successioni monotone. - Successioni infinitesime, infinite e confronti. - Forme indeterminate, limiti notevoli, il numero e. - Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. - Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale. - Limite di una funzione: definizione e proprietà. - Infinitesimi, infiniti e confronti. - Forme indeterminate, limiti notevoli. - Funzioni continue. Punti di discontinuità. - Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass. - Teorema degli zeri. - Continuità della funzione inversa. Uniforme continuità. - Derivabilità e retta tangente. - Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione. - Estremi locali e derivate. - Teorema di Fermat, Rolle, Lagrange e di Cauchy. - Monotonia e derivate. - Teorema di de L'Hopital e applicazioni. - Derivate successive; concavità e convessità. - Studio del grafico di funzioni. - Il polinomio di Taylor, applicazioni al calcolo dei limiti. - Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà. - Classi di funzioni integrabili. - Il teorema fondamentale del calcolo integrale. - Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. - Integrazione delle funzioni razionali. - Integrabilità in senso improprio. - Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze. - Assoluta integrabilità in senso improprio. - Equazioni differenziali lineari del primo ordine a variabili separabili e problema di Cauchy. - Equazioni differenziali lineari del primo ordine omogenee e non omogenee e problema di Cauchy. - Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee. - Applicazione all' equazione dell' oscillatore armonico. - Definizione. - Rappresentazione trigonometrica, coordinate polari. - Radici n-sime complesse.

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