Mathematics 2025/2026

Il programma completo dei due moduli (12 CFU) è diviso in quattro parti di circa 18 ore di lezioni ciascuna. Parte I: Probabilità Spazi di probabilità. Algebre di eventi. Calcolo combinatorio. Spazi di probabilità finiti. Introduzione agli assiomi di Kolmogorov. Probabilità condizionata, formula di Bayes. Eventi indipendenti. Variabili aleatorie. Distribuzione di probabilità e funzione di densità per variabili aleatorie. Attesa, varianza e loro proprietà. Attesa e varianza per le principali distribuzioni. Covarianza e invarianza di scala per il coefficiente di correlazione. Vettori aleatori. Distribuzione e densità per i vettori aleatori. Variabili aleatorie indipendenti, covarianza e correlazione. Attesa condizionata per variabili aleatorie e suo significato geometrico. Convergenza in probabilità e in legge. La funzione caratteristica. Legge (debole) dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Distribuzione gaussiana multivariata. Attesa condizionata per la gaussiana bivariata. Parte II: Analisi Matematica Serie. Numeri complessi. Serie ed esponenziali complessi. Formula di Eulero. Differenziabilità per funzioni in più variabili: esempi e controesempi. Il gradiente. La matrice jacobiana. Differenziale per funzioni composte. Derivate parziali miste. Il teorema di Schwartz-Young. Integrazione in dimensione n. Il teorema di Fubini. La formula per il cambio di variabili. Integrazione usando coordinate polari. Derivazione sotto il segno di integrale. Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Il prodotto scalare L^2 in R^2 e per le variabili aleatorie. Funzioni quasiconcave. Funzioni implicite. I-l teorema della mappa contrattiva. Parte III: Algebra Lineare Sistemi di equazioni lineari. Algebra delle matrici. Matrici quadrate. Trasposta. Determinante. Gruppi, campi, spazi vettoriali. Indipendenza lineare e basi. Dimensione. Trasformazioni lineari. Nuclei. Prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy- Schwartz. Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Proprietà degli autospazi. Matrici ortogonali e simmetriche. Matrici definite positive. Operatori di proiezione. Decomposizione di Cholesky. Matrici diagonalizzabili. Il teorema spettrale. Parte IV: Ottimizzazione Il polinomio di Taylor in dimensione n. La matrice hessiana. Ottimizzazione non vincolata: condizioni necessarie e sufficienti per massimi e minimi. Ottimizzazione vincolata. Lagrangiana e moltiplicatori di Lagrange. Introduzione a Kuhn-Tucker. Il teorema dell’inviluppo.

---