Linear Algebra And Geometry 2024/2025

1. Spazi vettoriali e sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Teorema di Steinitz. Basi e dimensione. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. Applicazioni lineari. Immagine, nucleo e rango di una applicazione lineare. Il gruppo degli automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici e rango di una matrice. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Primo e secondo teorema di unicita'. Sistemi dipendenti da parametri. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss di eliminazione. Sistemi ridotti. Matrici e applicazioni lineari. Matrici invertibili. Matrici ortogonali. Cambiamenti di base. Determinanti, modalita' di calcolo e applicazioni. Teorema di Binet. Teorema degli orlati. Teorema di Cramer. Numeri complessi. Diagonalizzazione di matrici. Prodotti scalari definiti positivi. Algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Teorema spettrale. 2. Spazi affini e Euclidei. Dimensione di uno spazio affine. Vettori liberi e applicati. Sottospazi affini di uno spazio euclideo e loro giaciture. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine. Dipendenza e indipendenza di punti. Mutua posizione di sottospazi affini. Sistemi di sottospazi: fasci e stelle. Affinita'. Orientazione.  Riferimenti ortonormali. Prodotto vettoriale. Aree e volumi. Coniche e loro classificazione metrica. Gli esercizi svolti sono considerati parte integrante del programma.