Meccanica Dei Sistemi Biologici 2020/2021

Meccanica dei Sistemi Biologici A.A. 2020/2021 (Programma indicativo)

ANALISI NUMERICA

Approssimazione di dati e funzioni. Interpolazione polinomiale: esistenza e unicità del polinomio interpolante, polinomi di Lagrange, differenze divise di Newton, polinomi di Hermite, splines; fenomeno di Runge, nodi di Chebyshev, interpolazione composita, errore di interpolazione, diagramma logaritmico dell’errore, condizionamento del polinomio interpolante; interpolazione trigonometrica ed FFT (cenni); interpolazione razionale fratta (cenni); interpolazione bidimensionale su partizioni in triangoli e rettangoli; approssimazione nel senso dei minimi quadrati.

Integrazione e derivazione numerica. Formule di quadratura: formula di Archimede, formule di Newton-Côtes, formule di Gauss, formule composite, grado di precisione, errore di integrazione; formule di derivazione numerica e soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie, metodi espliciti ed impliciti, esempi (theta-metodi e metodo di Heun), convergenza, zero-stabilità e assoluta stabilità.

Sistemi lineari. Condizionamento e sensibilità agli errori; norme matriciali e raggio spettrale; metodi diretti (richiami); metodi iterativi: convergenza, metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e di rilassamento, criteri d’arresto (cenni); costo computazionale; comparazione tra i metodi di soluzione.

Equazioni e sistemi non lineari. Equazione non lineare singola: metodo di dimezzamento, regula falsi, metodo di Newton, metodi di punto fisso. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton-Raphson. Problemi di ottimizzazione: il caso del funzionale quadratico (cenni).

SOLUZIONE di PROBLEMI ALLE DERIVATE PARZIALI

Metodi al continuo: metodi di Ritz e Galerkin; soluzione transitoria e di regime in problemi dipendenti dal tempo: diffusione in un capillare, diffusione attraverso una membrana (soluzione per serie).

Metodi di discretizzaizone (elementi finiti). Introduzione; metodi di Ritz e Galerkin; elementi finiti monodimensionali, triangolari, quadrilateri e tetraedrici; elementi di ordine superiore; funzioni caratteristiche; elementi di riferimento e mappa isoparametrica; matrice di rigidezza e vettore dei carichi; imposizione delle condizioni al contorno; assemblaggio; esempi 1D e 2D; applicazione al problema elastico lineare; problemi di diffusione-convezione-reazione; diffusione non-stazionaria; trave di Eulero-Bernoulli; implementazione (cenni).

MECCANICA (nel corrente A.A., a causa dell'emergenza COVID, questa parte potrebbe subire variazioni)

Materiali e strutture non omogenee. Esempi di materiali non omogenei; micro-scala e macro-scala; omogeneizzazione: costanti elastiche omogeneizzate, compositi statisticamente omogenei, elemento rappresentativo di volume, regola delle miscele, tensori di localizzazione, stime di Voigt e Reuss, Eshelby, teoremi di Hill, metodo di Hill e Mandel. Simmetrie materiali e relative equazioni costitutive elastiche lineari (materiali monoclini, trasversalmente isotropi, ortotropi, isotropi); esempi di problemi di equilibrio elastico in materiale anisotropo: trave a sforzo normale, a flessione, a torsione; Problemi anisotropi tridimensionali ed elementi finiti. Aspetti caratteristici dei materiali biologici: crescita e rimodellamento del tessuto osseo, caratterizzazione e modellazione di tessuti in fibre collageniche, il caso bidimensionale e la formula di Mariotte, struttura e proprietà dei tessuti arteriosi.

FLUIDODINAMICA

Generalità sui fluidi: Definizione di fluido. Concetto di continuo. Densità ed espansione termica. Comprimibilità di un fluido. Viscosità e sforzi. Tensione di vapore. Tensione superficiale. Effetto della curvatura della superficie. Capillarità.

Cinematica dei fluidi: Descrizione lagrangiana ed euleriana. Derivata materiale. Accelerazione di Lagrange. Funzione di corrente. Analisi del moto nell'intorno di un punto: caso bidimensionale semplificato, caso generale tridimensionale

Dinamica dei fluidi:Teorema del trasporto di Reynolds. Equazione di conservazione della massa: forma integrale, forma differenziale. Equazione di bilancio della quantità di moto: forma integrale, forma differenziale. Applicazione dell'equazione di bilancio della quantità di moto. Equazione di conservazione dell'energia: forma integrale, forma differenziale. Applicazione dell'equazione di conservazione dell'energia. Forma differenziale vs forma integrale. Il tensore degli sforzi. Relazioni costitutive. Equazioni di Navier­-Stokes.

Equazione di Bernoulli: Seconda legge della dinamica per un fluido ideale. Equazione di Bernoulli.

Soluzioni esatte delle equazioni di Navier-­Stokes: Flusso tra lastre piane e parallele. Flusso di Couette. Flusso di Hagen-­Poiseuille.

Strato limite: Equazioni dello strato limite, fenomenologia e separazione dello strato limite.

Forze fluidodinamiche e similitudini: Teorema di Buckingham ed analisi dimensionale. Similitudine dinamica. Similitudine distorta. Studio di flussi particolari: flusso intorno a corpi immersi, flussi con superficie libera, flusso nelle macchine rotanti, flusso in circuiti chiusi. Legge di Darcy-Weisbach. Perdite concentrate. Forze aerodinamiche.

Esercitazioni in Matlab

• Interpolazione polinomiale: fenomeno di Runge
• Interpolazione lineare a tratti e diagramma logaritmico dell’errore
• Metodi di integrazione numerica di ODE
• Metodo di Newton
• Implementazione FEM

Riferimenti

Appunti delle lezioni

Quarteroni, Sacco, Saleri, Numerical Mathematics, Springer

Quarteroni, Sacco, Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and Octave

Dispense di fluidodinamica: http://people.uniroma2.it/roberto.verzicco/MSB.html

Altro materiale didattico (fogli di esercizi, codici Matlab, presentazioni PowerPoint, etc…) verrà reso disponibile sulla piattaforma Teams.