Metodi Matematici Per L'ingegneria 2020/2021

Programma di massima

1.Elementi di analisi funzionale: spazi vettoriali reali e complessi, spazi normati, spazi di Banach, spazi C^k e spazi L^p, spazi di Hilbert, teorema della proiezione, sistemi ortonormali in L^2

2.Serie di Fourier : convergenza in L^2, puntuale ed uniforme, applicazione alla soluzione di equazioni alle derivate parziali ed all'analisi di segnali, fenomeno di Gibbs

3.Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, integrazione in campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative conseguenze, funzioni analitiche e principali proprietà, singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei residui e applicazione al calcolo di integrali impropri.

4. Trasformata di Laplace e principali proprietà, formula di inversione, convoluzione e principali proprietà, 

5. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di L^2 e proprietà principali, formula di inversione.

6. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test, distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel senso delle distribuzioni, delta di Dirac e sua trasformata di Fourier e di Laplace, derivate distribuzionali

7. Applicazione delle trasformate di Fourier e di Laplace alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali, proprietà del nucleo del calore. 

8. Teorema di Shannon sul campionamento dei segnali e applicazioni 

9. Cenni sulla trasformata di Radon, collegamenti con la trasformata di Fourier e applicazione alla TAC. Applicazione della trasformata di Fourier a segnali di Risonanza Magnetica