Geometria 2019/2020

·     Sistemi lineari ed algoritmo di Gauss-Jordan.   ·     Matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli. Determinanti: regola di Sarrus e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher. Regola di Cramer.   ·     Spazi vettoriali. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione di un sottospazio.   ·    I numeri complessi. Piano di Argand Gauss. Norma e coniugio. Struttura di spazio vettoriale reale e di campo. Rappresentazione polare di un numero complesso. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Cenni a spazi vettoriali complessi.   ·     Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine. Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti basi. Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un vettore.   ·     Endomorfismi. Diagonalizzabilità. Polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di un endomorfismo. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici, orbite). Autovettori complessi e diagonalizzazione complessa (cenni).   ·     La definizione generale di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, ortogonalità fra vettori, angoli convessi fra vettori, norma, distanza. Proiettori ortogonali. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Prodotto scalare standard in IR^n   ·     Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3. Modulo del determinante è un volume.

·     Operatori ortogonali e matrici rappresentative in basi ortonormali. Autovalori. Esempi: rotazioni e simmetrie in IR^2 ed IR^3.   ·     Operatori autoaggiunti e matrici rappresentative in basi ortonormali. Teorema spettrale degli operatori auto aggiunti    ·     Spazi affini e spazi cartesiani euclidei   ·     Punti e rette nel piano cartesiano IR^2. Formule di geometria affine ed euclidea. Circonferenze. Mutue posizioni di circonferenze e rette.   ·      Punti, rette e piani nello spazio cartesiano IR^3. Formule di geometria affine ed euclidea. Sfere. Mutue posizioni di piano-sfera, retta-sfera. Circonferenze sezionali.   ·     Raggi riflessi e raggi rifratti.     ·     Fondamenti di Geometria Proiettiva.     ·     Proiezione stereografica. Trasformazioni proiettive.   ·     Trasformazioni affini/euclidee. Esempi di isometrie ed affinità notevoli.   ·    Cambiamenti di riferimento affine/euclideo.   ·    Trasformazioni prospettiche.   ·    Quaternioni e rotazioni in IR^3