PARTE I. SPAZI NORMATI, METRICI E TOPOLOGICI. Spazi normati, esempi. Spazi metrici completi e spazi di Banach, esempi. Operatori limitati tra spazi normati, esempi. B(X,Y) è di Banach per Y di Banach. Insiemi aperti e chiusi in uno spazio metrico. Chiusura. Caratterizzazione dei chiusi metrici tramite successioni. Estensione di operatori limitati densamente definiti. Completamento di spazi metrici e normati. Spazi topologici. Intorni. Spazi di Hausdorff. Insiemi parzialmente ordinati diretti e nets. Caratterizzazione della topologia tramite convergenza di nets. Funzioni continue su uno spazio topologico. Norme equivalenti, esempi, equivalenza di norme su spazi a dimensione finita. Non compattezza della palla unitaria in spazi a dimensione infinita. Teorema di Heine-Borel. Spazi topologici compatti. Sottonet e punti limite. Teorema di Bolzano-Weierstrass generalizzato.
PARTE II. MISURA E INTEGRAZIONE ALLA LEBESGUE. Anelli, algebre, σ-algebre e misure su di essi. Insiemi elementari in Rn e loro misura. Misura esterna di Lebesgue. Prolungamento di Lebesgue di una misura sugli insiemi elementari. Misure di Lebesgue e Lebesgue-Stieltjes. Boreliani. Regolarità del prolungamento. Spazi di misura, esempi. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili. Approssimazione di funzioni misurabili tramite funzioni semplici. Integrale di funzioni positive e sue proprietà. Teorema di convergenza monotona. Lemma di Fatou. Integrale di funzioni complesse e sue proprietà. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Vitali-Lebesgue. Teorema fondamentale del calcolo (s.d.). Spazi Lp (p=1,2,+∞) e loro completezza. Densità delle funzioni continue in Lp.
PARTE III. SPAZI DI HILBERT. Forme hermitiane e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Spazi di Hilbert. Identità di polarizzazione e del parallelogramma. Esempi. Completamento di uno spazio prehilbertiano. Ortogonali. Teorema della proiezione; proiettore su un sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz. Sistemi ortonormali. Caratterizzazioni delle basi ortonormali e loro esistenza. Procedimento di Gram-Schmidt e spazi di Hilbert separabili. Forme sesquilineari limitate e operatori. Aggiunto di un operatore.
PARTE IV. ALGEBRE DI BANACH E C*-ALGEBRE. Algebre di Banach e C*-algebre. Esempi. Spettro di un elemento in un'algebra di Banach. Esempi. Funzioni analitiche a valori in uno spazio di Banach. Proprietà dello spettro. Teorema del raggio spettrale. Spettri di elementi di una C*-algebra. Spettro e trasformata di Gelfand di un'algebra di Banach commutativa. Ideali propri. Quozienti di spazi normati rispetto a sottospazi chiusi e di algebre di Banach rispetto a ideali chiusi. Corrispondenza tra caratteri e ideali propri massimali di un'algebra di Banach. Continuità dei caratteri. Spettro di un elemento di un'algebra di Banach commutativa e caratteri. Teorema di Stone-Weierstrass. Teorema di Gelfand-Naimark commutativo. Funtorialità dell'isomorfismo di Gelfand. Permanenza spettrale per C*-sottoalgebre. Calcolo funzionale continuo. Cono degli elementi positivi di una C*-algebra. Stati e rappresentazioni di C*-algebre. Teorema di Gelfand-Naimark-Segal. Stati puri e rappresentazioni irriducibili.
PARTE V. TEOREMA SPETTRALE. Operatori positivi su uno spazio di Hilbert. Famiglie spettrali. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con famiglie spettrali). Calcolo funzionale boreliano. Misure spettrali. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti limitati (versione con misure spettrali). Caratterizzazione degli elementi dello spettro tramite la misura spettrale. Versione del teorema spettrale con operatori di moltiplicazione (senza dim.).
PARTE VI. APPLICAZIONI ALLA MECCANICA QUANTISTICA. Formulazione assiomatica della Meccanica Quantistica. Ensembles e procedure, stati e osservabili e loro struttura matematica. Spettro fisico di un'osservabile. Funzioni di osservabili. Postulato C*. Commutatività dell'algebra delle osservabili in Meccanica Classica. Principio di Heisenberg generalizzato. Principio di sovrapposizione e regole di superselezione. Relazioni di commutazione di Heisenberg e relazioni di Weyl. Realizzazione di Schroedinger e C*-algebra di Weyl. Rappresentazioni regolari. Regolarità e irriducibilità della rappresentazione di Schroedinger. Teorema di unicità di Weyl-von Neumann. Quantizzazione di Wigner-Weyl.
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