Metodi Matematici Della Fisica 2017/2018

Programma del corso di METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2017-18  Docente: prof. Roberto Frezzotti (Codocente: dr. Petros Dimopoulos) 1) FUNZIONI ANALITICHE DI VARIABILE COMPLESSA Richiami sui numeri complessi, rappresentazioni cartesiana e polare. Funzioni analitiche di variabile complessa, singolarita` isolate e non-isolate. Funzioni armoniche di due variabili reali e parti reale o immaginaria di funzioni analitiche. Integrazione nel campo complesso. Teorema di Cauchy. Rappresentazione di Cauchy di una funzione e delle sue derivate. Teoremi su funzioni analitiche. Sviluppi in serie di Taylor e proprieta` di convergenza. Continuazione analitica: concetto ed alcuni metodi. Sviluppi in serie di Laurent e proprieta` di convergenza. Funzioni monodrome e polidrome, definizione dei punti di diramazione tramite continuazione analitica. Classificazione delle singolarità isolate (poli e singolarità essenziali). Teorema dei residui ed applicazioni al calcolo di integrali.  Lemma di Jordan. Integrali con poli sul cammino d'integrazione: valore principale e prescrizione i\epsilon. Distribuzioni: generalita` ed esempi. Proprieta` delle distribuzioni delta di Dirac e theta di Heaviside. Funzioni analitiche polidrome sul piano complesso tagliato: prescrizione e discontinuità lungo il taglio . Superfici di Riemann. Esempi ed applicazioni al calcolo di integrali reali e complessi. 2) SPAZI LINEARI AD UN NUMERO FINITO DI DIMENSIONI Definizioni fondamentali e basi in uno spazio lineare. Spazi lineari metrici. Richiami di algebra lineare e teorema di Rouche'-Capelli. Funzionali lineari, spazio duale; teorema di Riesz e notazione di Dirac. Polinomi ortogonali: proprieta` ed esempi classici. Diseguaglianze fondamentali. Operatori lineari. Algebra di operatori lineari.  Funzioni di operatore lineare: per serie; via integrale di Cauchy-Dunford. Teoria spettrale e decomposizione spettrale di un operatore lineare. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilita` di operatori. Definizione di operatore aggiunto. Operatori autoaggiunti, operatori unitari e operatori normali: proprieta` ed esempi. Diagonalizzabilita` in base ortonormale. Insiemi completi di operatori autoaggiunti. Insiemi irriducibili di operatori e Lemma di Schur. Funzioni di operatori non commutanti e formule di Lie e di Baker-Campbell-Hausdorff. Testi consigliati 1) C. Rossetti, "Metodi matematici della fisica", ed. Levrotto & Bella,  2000. 2) F. Calogero, “Metodi matematici della Fisica”, dispense Istituto di Fisica G. Marconi,     Università di Roma LaSapienza”, anno accademico 1973/74. 3) E. Onofri “ Lezioni sulla teoria degli operatori lineari”.     http://www.fis.unipr.it/~enrico.onofri/MMFbook.pdf 4) Carlo Bernardini, Orlando Ragnisco, Paolo Santini "Metodi matematici della fisica" Editore: Carocci Collana: Università Anno edizione: 1993 5) M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni: A Guide to Mathematical Methods for Physicists With Problems and Solutions Editore: World Scientific Europe Ltd, Essential Textbooks In Physics, 2017