Geometria 2016/2017

·     Brevi richiami su teoria ingenua insiemi e quantificatori. Relazione di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza

·     Sistemi lineari e matrici. Sistemi equivalenti. Compatibilità di un sistema lineare. Algoritmo di Gauss-Jordan.

·     Matrici ed operazioni tra matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli.

·     Determinanti: regola di Sarrus e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher. Regola di Cramer. 

·     Spazi vettoriali. Esempi: vettori geometrici, matrici, polinomi, funzioni. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione di un sottospazio.

·    Strutture astratte: anelli commutativi e non. Esempi: M(n,n;IR), IR[x], Z. Anelli euclidei: divisione con resto in Z ed in IR[x]. Derivazione in IR[x] (definizione ricorsiva). Campi: esempi Q e IR. I numeri complessi C come estensione di IR. Piano di Argand Gauss. Norma e coniugio. Struttura di spazio vettoriale su IR e di campo. Rappresentazione polare di un numero complesso. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Spazi vettoriali sui complessi (cenni).

·      Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine. Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Spazi vettoriali isomorfi.  Automorfismi. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti basi . Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un vettore. Interpretazione “operatoriale” del teorema di Rouchè-Capelli.

·      Operatori lineari (od Endomorfismi). Diagonalizzabilità di operatori lineari: polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di un operatore. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici, orbite). Autovettori complessi e diagonalizzazione complessa (cenni).

·     La definizione generale di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo. Ortogonalità, angoli convessi tra vettori, norma di un vettore, diseguaglianze di Cauchy-Schwartz e triangolare. Proiettori ortogonali. Basi otronormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. 

·   IR^2 con prodotto scalare standard: distanza, aree di parallelogrammi e formula determinantale.  Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3: aree e volumi in forma determinantale. Orientazione di basi. 

·     Operatori ortogonali e matrici rappresentative in basi ortonormali. Spettro di operatori ortogonali. Rotazioni e simmetrie in IR^2 ed IR^3 con prodotto scalare standard. 

·     Operatori autoaggiunti e matrici rappresentative in basi ortonormali. Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti.

·   Quaternioni e matrici di rotazione in IR^3 (solo se tempo lo permette)