Metodi Matematici 2015/2016

Corso di Laurea in Scienza dei Materiali A.A. 2015/2016 

Programma del corso di Metodi Matematici (prof. M. Tomellini)

Nozione di spazio metrico. Disuguaglianza triangolare. Principio delle contrazioni. Teorema sull'esistenza del punto fisso. Spazio Euclideo. Spazi vettoriali a dimensione finita Cn. Disuguaglianza di Schwarz. Dipendenza lineare: metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Operatori lineari. Autovalori e autovettori di matrici: diagonalizzazione. Funzioni di matrice. Commutatori. Formula di Glauber. Matrici Hermitiane. Cambiamenti di base; trasformazioni unitarie e ortogonali. Rotazioni.

Equazioni differenziali lineari del I ordine. Teorema di esistenza e unicità. Equazioni a variabili separabili. Equazione di Bernoulli; equazioni ai differenziali esatti. Sistemi di equazioni lineari a coefficienti costanti del I ordine. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Equazioni non omogenee. Oscillatore armonico forzato.

Spazi funzionali. Operatori lineari nello spazio L2. Operatori differenziali. Formula di Leibniz. Autovettori e autovalori di operatori Hermitiani. Commutatori. Notazione di Dirac. Problemi di Sturm-Liouville.

Polinomi di Hermite. Funzione generatrice dei polinomi di Hermite. Relazioni di ricorrenza per i polinomi di Hermite. Oscillatore armonico quantistico. Relazioni di completezza e sviluppo in serie di funzioni. Disuguaglianza di Bessel; uguaglianza di Parseval. Convergenza in media e in media quadratica.

Polinomi di Legendre; funzione generatrice e relazioni di ricorrenza. Sviluppo del potenziale di Coulomb in polinomi di Legendre.

Sviluppo in serie di Fourier. Sviluppo in serie di seni e coseni. Funzioni pari e dispari. Sviluppo in serie in forma esponenziale.

Funzioni di variabile complessa. Funzioni analitiche: condizioni di Cauchy-Riemann. Integrale di Cauchy. Sviluppo in serie di Laurent. Poli e loro ordine; residui. Teorema dei residui. Calcolo di integrali definiti mediante integrazione in campo complesso.

Trasformata e anti-trasformata di Fourier. Trasformata e anti-trasformata di Laplace. Trasformata di Fourier del potenziale Coulombiano. Risoluzione di equazioni differenziali utilizzando la trasformata di Laplace. Trasformata di Fourier dl potenziale Coulombiano. Funzione di Green di particella libera.

Campi vettoriali: operatori differenziali in coordinate curvilinee ortogonali; divergenza, gradiente, Laplaciano

Testi consigliati

V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore volume II e III (Editori Riuniti Univ. Press)

C. Bernardini, O. Ragnisco, P. Santini: Metodi matematici per la fisica , Carocci 1993

G. Cicogna, Metodi matematici per la fisica , Springer 2008

A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale (edizioni Mir 1980)

F. Calogero: Metodi Matematici della Fisica (Dispense del Corso; Università di Roma La Sapienza)