Geometria 2015/2016

·      Brevi richiami su insiemistica, simbologia. Relazione di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza

·      Sistemi lineari e matrici. Sistemi equivalenti. Compatibilità di un sistema lineare. Algoritmo di Gauss-Jordan.

·      Matrici ed operazioni tra matrici. Rango di una matrice. Teorema di Rouchè-Capelli.

·      Determinanti: regola di Sarrus e Teorema di Laplace. Minori. Teorema di Kronecher. Regola di Cramer. 

·     Spazi vettoriali. Esempi: vettori geometrici, matrici, polinomi, funzioni. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori. Basi, dimensione, coordinate, cambiamenti di base e cambiamento di coordinate. Sottospazi vettoriali. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali. Codimensione di un sottospazio.

·    Numeri complessi. Rappresentazione polare. Radici n-esime e formula di De Moivre. Spazi vettoriali sui complessi (cenni)

·      Applicazioni lineari. Nucleo ed Immagine. Applicazioni iniettive, suriettive. Isomorfismi. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Rappresentazioni di applicazioni lineari in differenti basi . Rango di una applicazione lineare. Insieme delle contro-immagini di un vettore. Interpretazione “operatoriale” del teorema di Rouchè-Capelli.

·      Operatori lineari (od Endomorfismi). Diagonalizzabilità di operatori lineari: polinomio caratteristico. Invarianza del polinomio caratteristico per cambiamenti di base. Traccia e determinante di un operatore. Teorema di Hamilton-Cayley. Autovalori ed autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Applicazioni di autovettori (sistemi dinamici, orbite)

·       Autovettori complessi e diagonalizzazione complessa (cenni).

·       Spazi affini. Sottospazi affini o varietà lineari. Giaciture. Dimensione di un sottospazio affine. Equazioni parametriche cartesiane di sottospazi affini. Interpretazione geometrica dei sistemi lineari e del teorema di Rouchè-Capelli.

·    Applicazioni: cenni di geometria affine nel piano cartesiano IR^2 e nello spazio cartesiano IR^3. Equazioni cartesiane e parametriche di punti, rette e piani, interpretazione geometrica dei relativi coefficienti delle equazioni, alcune formule di geometria affine come conseguenze della teoria svolta (NB questa parte verrà trattata in maggior dettaglio nel II modulo del corso – Prof. Letizia)

·     La definizione generale di prodotto scalare e di spazio vettoriale euclideo. Ortogonalità. Elementi di geometria Euclidea di R^n: prodotto scalare canonico, diseguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare, ortogonalità fra vettori, angoli convessi fra vettori, norma, distanza. Proiezioni ortogonali. Basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

·     Prodotto vettoriale e prodotto misto in IR^3. Modulo del determinante è un volume.

·    Applicazioni: cenni di geometria euclidea nel piano cartesiano IR^2 e nello spazio cartesiano IR^3. Punti, rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche, interpretazione geometrica dei relativi coefficienti, alcune formule di geometria euclidea, alcune isometrie ed affinità notevoli di IR^2 e IR^3 come traslazioni, rotazioni, riflessioni e dilatazioni (NB questa parte verrà trattata in maggior dettaglio nel II modulo del corso – Prof. Letizia)

·    Triangolarizzazione di endomorfismi reali.

·    Aggiunto di un endomorfismo reale. Endomorfismi reali normali, autoaggiunti, ortogonali. Matrici rappresentative in basi ortonormali. Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti.

·     Matrici unitarie. Quaternioni e matrici di rotazione in IR^3.