Geometria 2015/2016

Spazi vettoriali. Esempi: spazi vettoriali numerici, spazi di polinomi in una variabile, spazi di matrici. Sottospazi vettoriali. Esempio: sottospazio delle soluzioni di una equazione lineare omogenea. L'intersezione di due sottospazi vettoriali e' un sottospazio vettoriale. Descrizione parametrica e cartesiana di un sottospazio vettoriale. Combinazioni lineari di un insieme finito di vettori. Sottospazio vettoriale generato da un insieme finito di vettori. Vettori linearmente indipendenti. Unicita' di scrittura come combinazione lineare di vettori. Un insieme finito di vettori e' linearmente indipendente se e solo se uno di essi e' combinazione lineare dei rimanenti. Un insieme di generatori e' minimale se e solo se e' linearmente indipendente. Vettore linearmente dipendente da un insieme di vettori. Matrice completa e incompleta associata ad un sistema lineare. Un sistema lineare ammette soluzione se e solo se la colonna di termini noti e' combinazione lineare delle colonne della matrice dei coefficienti.  Ogni insieme finito di vettori contiene un insieme linearmente indipendente che genera lo stesso sottospazio. Metodo degli scarti successivi.  Le trasformazioni elementari su un insieme finito di vettori non modificano il sottospazio vettoriale generato. Matrice a scala. Le righe non nulle di una matrice a scala sono linearmente indipendenti. Procedimento di Gauss di eliminazione per trasformare una matrice arbitraria in una matrice a scala. Applicazione del procedimento di Gauss per trovare un insieme di generatori linearmente indipendenti. Prodotto tra matrici. Matrice identica. Matrici elementari. Procedimento di Gauss come prodotto tra matrici. Matrici invertibili.  Matrici ridotte. Applicazione allo studio dei sistemi lineari. Sistemi lineari equivalenti e sistemi lineari compatibili. Teorema di Rouche'-Capelli. Teorema di struttura per le soluzioni di un sistema lineare. Componenti (o coordinate) di un vettore rispetto ad una base. Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. Rango di una matrice. Il rango di una matrice coincide con la dimensione dello spazio vettoriale generato dalle colonne. In una matrice a scala, le colonne con i pivot formano una base del sottospazio generato dalle colonne. Determinante di una matrice quadrata. Calcolo del determinante tramite trasformazioni elementari. Il determinante si annulla se e solo se le righe sono linearmente dipendenti (se e solo se le colonne sono linearmente dipendenti). Una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha determinante non nullo. Calcolo dell'inversa di una matrice tramite trasformazioni elementari. Sviluppo del determinante secondo Laplace. Teorema di Binet. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Applicazione lineare definita su una base. Matrice associata ad una applicazione lineare. Teorema fondamentale dell'algebra lineare. Cambi di base. Endomorfismi: autovettori, autovalori, autospazi, polinomio caratteristico, spettro, caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili.  Prodotto scalare definito positivo: norma e lunghezza, versori, funzioni trigonometriche degli angoli, ortogonalita'. Ortogonale di un sottoinsieme. Esistenza di una base ortogonale. Normalizzazione di una base (passaggio da base ortogonale a base ortonormale). Proiezione di un vettore lungo un'altro. Procedura di ortogonalizzazione di Gram Schmidt. Cambi di base. Forma quadratiche. Caratterizzazione delle forma quadratiche definite e semidefinite. Teorema di Sylvester. Procedura di Gauss-Lagrange. Teorema Spettrale. 

Geometria nel piano e nello spazio euclideo: sistemi di riferimento, rette e piani e loro giaciture, coniche e loro classificazione.

Libri di testo e materiali suggeriti (vari libri sono adeguati alla preparazione, e i libri indicati vanno intesi come alternativi tra loro):

Carlo Petronio, Geometria e Algebra lineare, Societa' editrice Esculapio

Enrico Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli,

Dispense del Prof. Marini o materiale didattico del Prof. Di Gennaro (per l'insegnamento di Geometria 2011/12) resi disponibili tramite didattica web)

Materiale didattico messo a disposizione dal docente