Analisi Matematica I 2015/2016

- Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici, numeri reali. - Massimi e minimi. Estremo superiore e inferiore. - Nozioni generali sulle funzioni di variabile reale e sulle funzioni   elementari. - Successioni. Il principio di induzione. Limiti di successioni:   definizione e proprietà. Soluzione di alcune forme indeterminate. - Teoremi di permanenza del segno e di confronto. - Successioni monotone. Il numero di Nepero. - Sottosuccessioni. Il Teorema di Bolzano-Weierstrass. - Limiti di funzioni: definizioni e proprietà. Calcolo e forme   indeterminate. - Funzioni continue. Punti di discontinuità. - Teorema degli zeri. - Il Teorema di Weierstrass. - La funzione inversa. - Derivate: definizioni e proprietà. Interpretazione geometrica,   differenziabilità, retta tangente al grafico. Derivate delle funzioni   elementari, regole di calcolo. - Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e applicazioni. Studio della   monotonia, estremi relativi, punti stazionari. - Derivate seconde e convessità. Studio del grafico.   - Il Teorema di L'Hopital. Polinomio di Taylor e sue proprietà.   Applicazioni al calcolo dei limiti. - Inversione dell' operazione di derivazione e calcolo di aree:   l' integrale di Riemann. - Integrali definiti e indefiniti. Integrabilità delle funzioni monotone. - Teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione integrale. - Integrazioni per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni   razionali. - Integrali impropri; criteri di convergenza.     - Numeri complessi. Forma cartesiana, trigonometrica, esponenziale.   Operazioni elementari. - Radici n-sime, Teorema fondamentale dell' Algebra. - Elementi di topologia in Rn: punti di accumulazione, insiemi aperti,   chiusi, compatti. - Limiti e continuità in Rn. - Derivate parziali e direzionali. - Differenziabilità e piano tangente, gradiente. - Teorema del differenziale totale. - Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e   problema di Cauchy. - Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee   e non omogenee. - Applicazione all'equazione dell'oscillatore armonico.