Analisi Matematica II 2013/2014

Successioni e serie di funzioni - Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. - Scambio di limiti con la derivata e l'integrale. - Serie di potenze. - Raggio di convergenza e criteri per determinarlo. - Derivazione e integrazione per serie. - Serie di Taylor. Calcolo differenziale per funzioni vettoriali - Topologia in Rn: distanza, norma, punti di accumulazione, insiemi    aperti, chiusi, compatti. - Il Teorema di Heine-Borel (Caratterizzazione dei compatti in Rn). - Limiti e continuità in Rn. Teorema di Weierstrass. - Derivate parziali e direzionali. - Gradiente, differenziabilità, piano tangente. - Teorema del differenziale. - Derivate successive. Il Teorema di Schwarz. - Formula del Polinomio di Taylor al 2° ordine (resto di Lagrange). - Massimi e minimi liberi. - Matrice hessiana, condizioni per la determinazione di estremi liberi. - Insiemi di livello, teorema della funzione implicita (o del Dini). - Estremi vincolati, moltiplicatori di Lagrange.  Integrali multipli secondo Riemann - Definizione di integrale multiplo secondo Riemann. - Calcolo dell'integrale mediante le formule di riduzione. - Cambio di variabili nell'integrale: matrice e determinante di Jacobi    (o Jacobiano). - Coordinate cilindriche e polari. Curve e campi vettoriali - Curve nel piano e nello spazio: definizioni e proprietà. - Curve regolari, retta tangente. - Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea. - Integrali curvilinei di funzioni e di campi vettoriali. - Divergenza e rotore di campi vettoriali. - Campi vettoriali conservativi e irrotazionali, funzione potenziale. - I Teoremi di Gauss-Green, di Stokes e della divergenza nel piano. Superfici e integrali di superficie - Superfici parametriche nello spazio: definizioni e proprietà. - Superfici regolari, piano tangente, versore normale. - Area di una superficie e integrali di superficie. - Flusso di un campo vettoriale. - Teorema di Stokes e della divergenza nello spazio.  Equazioni differenziali ordinarie - Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni del primo    ordine di Bernoulli. - Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee    e non omogenee. Equazioni del secondo ordine di Eulero. - Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi di ordine    generale:teorema di esistenza e unicità locale. - Equazioni lineari: proprietà delle soluzioni, matrice di Wronski    (o Wronskiana).