Meccanica Quantistica 2 2012/2013

PROGRAMMA DEL CORSO DI 'MECCANICA QUANTISTICA 2'

PROF. E. PACE

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN FISICA

(9 CFU)

A.A. 2012-2013

1) Postulati della meccanica quantistica. Osservabili. Misura di una quantita' fisica; riduzione di un pacchetto d'onda dopo una misura. Evoluzione temporale. Insieme completo di osservabili che commutano. Stati stazionari. Relazione di incertezza tempo-energia.

2) Operatore di evoluzione. Derivata di un esponenziale di un operatore. Rappresentazione di Schroedinger e rappresentazione di Heisenberg. Equazione del moto per un operatore nella rappresentazione di Heisenberg. Rappresentazione di interazione; operatore di evoluzione nella rappresentazione di interazione. Espansione perturbativa di Dyson per l'operatore di evoluzione.

3) Propagatore ritardato e sua rappresentazione esplicita per una hamiltoniana indipendente dal tempo. Equazione di Green per il propagatore ritardato. Postulati di Feynman per l'evoluzione temporale di un sistema fisico.

4) Metodo variazionale. Teorema di Ritz.

5) Oscillatore armonico tridimensionale.

6) Condizioni sul fascio e sul bersaglio in urti tra particelle. Canali. Definizione di sezione d'urto totale e differenziale.

7) Cinematica relativistica. Trasformazioni di Lorentz. Sistema del laboratorio e sistema del centro di massa. Relazione tra sezioni d'urto nel sistema del laboratorio e nel sistema del centro di massa.

8) Riduzione dell'urto tra due particelle alla diffusione di una particella da un potenziale. Funzione d'onda dipendente dal tempo e funzione d'onda di scattering stazionaria. Condizioni asintotiche.

9) Flusso entrante e flusso uscente. Sezione d'urto differenziale. Interferenza tra flusso uscente radiale e flusso entrante. Teorema ottico. Conservazione della probabilita'.

10) Pacchetti d'onda liberi; velocita' di gruppo. Condizioni perche' la forma del pacchetto non cambi nel tempo. Parametro d'urto. Pacchetti d'onda in presenza di interazione; condizioni asintotiche. Velocita' di gruppo dell'onda radiale. Sezione d'urto differenziale calcolata con i pacchetti d'onda.

11) Sviluppo della funzione di scattering stazionaria in autofunzioni della hamiltoniana e del momento angolare. Equazione per la funzione radiale. Equazione sferica di Bessel. Funzioni sferiche di Bessel, di Neumann e di Hankel. Funzioni regolari ed irregolari. Sviluppo di un'onda piana in funzioni sferiche di Bessel.

12) Condizioni al contorno per le funzioni radiali. Condizioni sul potenziale per avere soluzioni sinusoidali all'infinito. Sfasamenti. Condizioni sulla funzione radiale nell'origine per potenziali meno divergenti di (1/r)^2.

13) Sviluppo in armoniche sferiche dell'ampiezza di diffusione. Onde parziali. Sviluppo della sezione d'urto differenziale e totale in onde parziali. Teorema ottico e relazione di unitarieta'.

14) Equazione integrale per lo scattering da potenziale. Funzione di Green libera. Rappresentazione nel piano complesso della funzione di Green libera corrispondente ad un' onda sferica uscente. Equazione di Lippmann-Schwinger. Matrice di transizione.

15) Funzione di Green totale corrispondente ad un' onda sferica uscente. Funzione di Green libera e funzione di Green totale corrispondenti ad un' onda sferica entrante. Notazione di Dirac per l'equazione di Lippmann-Schwinger e per l'equazione per la funzione di Green totale.

16) Risoluzione dell'equazione di Lippmann-Schwinger per iterazione. Approssimazione di Born e serie di Born per la funzione di scattering stazionaria, per l'ampiezza di diffusione e per la matrice di transizione. Condizioni sufficienti per la convergenza della serie di Born a tutte le energie e condizioni sufficienti per la convergenza ad energie abbastanza grandi.

17) Postulati della meccanica quantistica relativistica. Vettori controvarianti e covarianti; operatore quadrimpulso.

18) Equazione di Klein-Gordon; soluzioni ad energia positiva e negativa. Corrente per particelle di Klein-Gordon. Limite non relativistico dell'equazione di Klein-Gordon. Campo di Klein-Gordon per particelle cariche e per particelle neutre.

19) Formalismo lagrangiano per l'equazione di Klein-Gordon. Tensore canonico degli sforzi. Densita' di energia ed energia totale. Teorema di Noether.

20) Forma di Schroedinger dell'equazione di Klein-Gordon. Spazio ed operatori di isospin. Limite non relativistico nella forma di Schroedinger.

21) Coniugazione di carica; antiparticelle. Parita' di coniugazione di carica; esempi.

22) Interazione di particelle di spin zero con il campo elettromagnetico. Densita' di corrente e di carica in presenza di un campo. Invarianza di gauge dell'equazione di Klein-Gordon. Limite non relativistico in presenza di un campo elettromagnetico.

23) Trasformazione del campo di Klein-Gordon per inversioni spaziali. Parita' del pione.

24) Equazione di Dirac. Regole di commutazione delle matrici di Dirac. Dimensioni delle matrici di Dirac. Rappresentazione di Dirac-Pauli delle matrici di Dirac; equivalenza di diverse rappresentazioni.

25) Moto libero di una particella di Dirac. Soluzioni positive e negative. Operatore di spin; elicita'. Forma covariante dell'equazione di Dirac. Matrici gamma e loro proprieta'.

26) Densita' di lagrangiana per l'equazione di Dirac. Tensore canonico degli sforzi. Energia di particelle e antiparticelle.

27) Equazione di Dirac in un campo elettromagnetico. Operatore velocita'. Derivata della quantita' di moto rispetto al tempo.

28) Riduzione non relativistica dell'equazione di Dirac. Componenti piccole e grandi degli spinori. Fattore giromagnetico.

29) Trasformazioni di Lorentz proprie ed improprie. Covarianza della equazione di Dirac.

30) Trasformazioni di Lorentz proprie infinitesime. Esempi: boosts e rotazioni. Trasformazioni inverse. Generatori dei boosts e delle rotazioni. Trasformazioni di Lorentz finite a partire dai generatori.

31) Operatori delle trasformazioni di Lorentz per gli spinori: casi particolari.

32) Covarianza della densita' di corrente.

33) Riflessione spaziale e trasformazione degli spinori.

34) Covarianti bilineari degli spinori di Dirac e loro proprieta' di trasformazione.

35) Costruzione degli spinori per una particella in moto a partire dagli spinori a riposo.

36) Proprieta' di ortogonalita' e normalizzazione degli spinori. Proprieta' di ortogonalita' e completezza delle onde piane di Dirac.

37) Vettore di polarizzazione e spinori polarizzati. Operatori di proiezione sugli stati ad energia positiva e negativa. Operatori di proiezione di spin.

38) Pacchetti di onde: condizione di normalizzazione.

39) Decomposizione di Gordon della corrente.

40) Hole theory. Creazione e distruzione di coppie particella-antiparticella. Operatore di coniugazione di carica. Equazione di Dirac per particella e antiparticella.

41) Valore di aspettazione di un operatore nello stato coniugato di carica. Esempi.

42) Effetto dell'operatore parita' sul potenziale vettore. Invarianza dell'equazione di Dirac per parita' in presenza del campo elettromagnetico.

43) Inversione temporale. Operatore di inversione temporale.

44) Operatore PCT. Invarianza in forma dell'equazione di Dirac in presenza del campo e.m. per trasformazioni PCT.

45) Equazione di Weyl. Elicita' di neutrini e antineutrini. Equazione per neutrini ed antineutrini.

46) Connessione tra equazione di Weyl ed equazione di Dirac a massa nulla. Conservazione di PC per particelle di Weyl.

Testi consigliati:

1) "Quantum Mechanics", Cohen-Tannoudji, Diu, Laloe, John Wiley & Sons;

2) "Quantum Collision Theory", C. J. Joachain, North Holland;

3) "Relativistic Quantum Mechanics", W. Greiner, Springer-Verlag.