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Analisi Matematica I 2012/2013
Programma di Analisi Matematica I:
Connettivi logici per proposizioni. Dimostrazioni per assurdo. Predicati e quantificatori. Principio di induzione. Calcolo della somma dei primi n interi. Il binomio di Newton. Insiemi e principali operazioni sugli insiemi. Corrispondenze e funzioni. Relazioni. Definizione di successione. Funzioni, immagine, controimmagine, dominio, codominio, funzioni iniettive, surgettive, bigettive, funzione identica, proiezioni. Funzioni invertibili. Una funzione e' invertibile se e solo se e' bigettiva. La radice quadrata. Numeri razionali e reali, elemento separatore. La radice di 2 non e' razionale. Il valore assoluto. Seno e coseno di un angolo acuto. Angolo in radianti. Maggioranti, minoranti di un insieme non vuoto di numeri reali. Estremo superiore e inferiore. Teorema di densita' dei razionali nei reali. Densita' delle frazioni decimali nei numeri reali. Successioni: limiti, finiti e infiniti. Limite della radice n-esima di a, e della radice n-esima di n. Successioni limitate. Ogni successione convergente a un numero reale e' limitata. Ogni successione monotona ammette limite, uguale all'estremo superiore. Studio della successione che tende al numero e. Somme di Cesaro. La funzione esponenziale. Punti limite. Sottosuccessioni. Proprieta' di Uryshon. Criterio del rapporto e della radice. Massimi e minimi limiti. L'insieme dei punti limite di una successione limitata e' non vuoto, e ammette massimo e minimo (teorema di Bolzano-Weierstrass). Successioni di Cauchy. Spazi metrici, punti interni a un insieme. Parte interna. Punti esterni, chiusura, frontiera topologica. Intorni. Funzioni Lipschitziane. Punti di accumulazione, punti isolati. Insiemi discreti, insieme densi. Un punto x appartiene alla chiusura di A se e solo se c'e' una successione di punti di A convergenti ad x. Definizione di continuita' usando la controimmagine di aperti. Teorema: composizione di funzioni continue e' continua. Teorema: una funzione e' continua se e solo se per ogni x c'e' la regola eps-delta. Definizione di funzione continua in un punto. Legame con le funzioni Lipschitziane. Funzioni uniformemente continue, funzioni continue ma non uniformemente continue. Le proiezioni su un fattore sono continue. Teorema della permanenza del segno. Dimostrazione anche astratta: controimmagine di una semiretta aperta. Livelli, sopralivelli aperti e chiusi di una funzione continua. Una funzione e' continua se e solo se e' sequenzialmente continua. Funzioni monotone di variabile reale. Esempio di una funzione monotona con infiniti salti su (-1,1) che si accumulano in un punto non di salto. I numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso. Estremo superiore, inferiore, massimo e minimo di una funzione. Limite in un punto della chiusura del dominio. Definizione di limite sequenziale. Equivalenza delle due definizioni. Unicita' del limite. Questa definizione contiene il concetto di limite per le successioni. Limite di sin(1/x). Limite di sinx/x, confronto tra le aree. Problema dell'estensione di una funzione in un punto di accumulazione in modo che la funzione estesa, come limite, sia continua. Se una funzione ammette limite, allora e' localmente limitata. Le funzioni monotone ammettono sempre limite destro e sinistro, possibilmente diversi (unico modo in cui possono avere una discontinuita'). Esempio di una funzione monotona con infiniti salti che si accumulano in un punto dove la funzione e' continua. Scala di Cantor (cenni). Massimo e minimo limite di funzioni. Il limite esiste se e solo se il massimo e il minimo limite coincidono. Criterio di Cauchy in un punto. Caratterizzazione dei massimi e minimi limiti per successioni. Completezza di R. Compattezza sequenziale. Teorema di Bolzano-Weierstrass: [a,b] e' compatto. Relazioni tra sequenziale compattezza e sequenziale chiusura. Prodotto finito di compatti e' compatto. Un sottoinsieme di Rn e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato. Immagine continua di un compatto e' compatto. Una funzione continua su un compatto ammette massimo e minimo. Sulla funzione inversa di una funzione continua e iniettiva definita su un compatto. Convessita', funzioni convesse e concave, sopragrafico e sottografico. Connessione. Una funzione continua manda connessi in connessi. Caratterizzazione dei connessi di R. Teorema degli zeri delle funzioni continue. Funzione di Cantor, funzione di Dirichlet, funzione discontinua solo sui razionali. Funzione bigettiva da un intervallo a un intervallo, discontinua e non monotona. Teorema di Heine-Cantor. Sulla estendibilita' delle funzioni uniformemente continue alla chiusura di un insieme in uno spazio metrico. Infinitesimi e infiniti. Principio di sostituzione degli infinitesimi. Derivate: definizione di derivata in un punto, non necessariamente interno. Definizione di differenziale in un punto. Equivalenza in una variabile. Interpretazione geometrica della derivata. Definizione di differenziale per una funzione di n variabili a valori in Rm. Localita' della derivata. Esempi di funzioni continue non derivabili in un numero finito di punti. Una funzione derivabile in un punto e' continua, ma non e' necessariamente vero il viceversa. Regole di derivazione. Funzioni monotone in un punto, e in un intorno. Collegamenti con il segno della derivata in un punto. massimi e minimi locali. punti critici. La derivata di una funzione derivabile in un punto di massimo e' zero. Teorema di Rolle, di Cauchy, di Lagrange. Una funzione con derivata nulla in (a,b) e' costante. Funzioni di classe Ck, e Cinfty. Funzioni holderiane. Teoremi di l'Hopital. Una funzione Cinfty non identicamente nulla, con tutte le derivate nulle in un punto. Infinitesimi e infiniti, e loro ordini. Formula di Taylor con resto di Peano, e di Lagrange. Teorema sui massimi e minimi locali, e sui punti sella. Funzioni convesse. Monotonia dei rapporti incrementali. Una funzione convessa ammette derivata destra e sinistra in tutti i punti. Una funzione convessa e' continua all'interno del suo dominio. Caratterizzazione differenziale C1 e C2 delle funzioni convesse. Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili reali. Gradiente e differenziale per funzioni di piu' variabili reali. Ricerca di massimi e minimi locali per funzioni di due variabili reali. Teoria delle integrazione secondo Riemann per funzioni limitate su un intervallo compatto. Le funzioni monotone sono integrabili secondo Riemann. Interpretazione del teorema fondamentale del calcolo per integrali non orientati. Le funzioni continue su [a,b] sono integrabili secondo Riemann. Somme di Cauchy. Linearita' e additivita' dell'integrale di Riemann. Integrale su un intervallo orientato. Teorema fondamentale del calcolo per funzioni continue. Ricerca della famiglia delle primitive. Accenni al legame con il teorema della divergenza. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione (orientata) per sostituzione. Interpretazione (almeno nel caso non orientato) come formula dell'area. Osservazioni sul caso orientato, lunghezza dell'immagine con segno. Formula di Taylor con resto integrale. Integrazione delle funzioni razionali. Integrali con integrandi della forma f(x, (P(x))^{1/m}), con P polinimio di primo grado. Integrali abeliani. Integrali impropri, su un intervallo limitato, e su uno illimitato, per funzioni continue tranne che un numero finito di punti. Equazioni differenziali: del primo ordine non omogenee a coefficienti variabili. Equazioni differenziali: discussione sulle lineari di ordine n. Una soluzione qualunque si ottiene come somma di una soluzione speciale della non omogenea piu' tutte le soluzioni della omogenea. Riduzione di una equazione a un sistema del primo ordine. Equazioni differenziali lineari di ordine due a coefficienti costanti complessi e reali. Formula risolutiva. Forma complessa (e reale per coefficienti reali). Equazioni differenziali non omogenee del secondo ordine. Risoluzione per tentativi. Metodo di variazione delle costanti. Matrice wronskiana. Singolarita' in tempo finito per un'equazione differenziale non lineare. Non unicita'. Equazioni differenziali a variabili separabili.