Analisi Matematica II 2012/2013

    ANALISI MATEMATICA II, 12 CFU, Ing. Civile e Ambientale  2012/13 

Docente:  Lucio Damascelli  - 

Tel.  0672594675,  studio 1127, Dip. Matematica, primo piano, primo dente

   Email:  damascel@mat.uniroma2.it        http://www.mat.uniroma2.it/~damascel 

 Testi di riferimento: 

[A]  M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli,  ANALISI MATEMATICA,  Seconda Edizione, McGraw-Hill  2011

[B]  M. Bramanti, C.Pagani, S. Salsa,  ANALISI MATEMATICA 2,  Zanichelli 2009

Il testo di riferimento [A] contiene alcuni  esercizi con soluzione e  copre nei capitoli corrispondenti tutti gli argomenti del corso.

Il testo di riferimento [B] contiene alcuni  esercizi e copre nei capitoli corrispondenti tutti gli argomenti del corso ad eccezione degli argomenti della parte 7)   e delle dimostrazioni dei teoremi di esistenza e unicità in 8).

Altri testi utili relativi al programma svolto (ad eccezione della parte 7) che si puo’ trovare nel testo di riferimento [A]) sono i seguenti   

 --  Apostol – Calcolo vol. 3  (Boringhieri, con esercizi)   

-- Fusco, Marcellini, Sbordone – Elementi di Analisi Matematica due (Liguori)

Per altri esercizi si possono consultare i testi

--Marcellini, Sbordone -Esercitazioni di Matematica 2 vol. (in due parti) (Liguori)

-- Demidovic Esercizi e problemi di Analisi Matematica (Editori Riuniti) 

 Programma 

Per chi deve sostenere l' esame da 10 crediti sono facoltative le dimostrazioni relative alla parte 7) e i cenni alle serie di Fourier.  E' richiesta la comprensione dei concetti e delle definizioni di base, come pure l' idea intuitiva che sta dietro ai risultati non dimostrati.

Con l' asterisco sono indicati i teoremi dei quali e' richiesta la dimostrazione completa, con il doppio asterisco alcuni tra i teoremi la cui dimostrazione e' stata svolta completamente o in parte ma e' facoltativa e richiesta eventualmente solo per avere una votazione elevata. 

In parentesi quadre argomenti che probabilmente non si avrà' il tempo di svolgere, collegati al programma svolto,  che lo studente puo' approfondire autonomamente sui testi consigliati.

1) Elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili. 

Richiami delle definizioni dei concetti topologici elementari nello spazio euclideo R^N: struttura di spazio vettoriale euclideo, prodotto scalare, norma, distanza e loro proprietà; palle aperte e chiuse, intorni, insiemi aperti e chiusi, interno, esterno, frontiera di un insieme, punti di accumulazione. 

Limiti e continuita’ di  successioni in R^n e di funzioni di piu’ variabili a valori scalari e vettoriali. Insiemi compatti,  teorema di Weierstrass di esistenza di massimo e minimo assoluti di una funzione continua su un compatto.  

Derivate parziali e direzionali, gradiente di una funzione scalare di piu' variabili. 

Differenziabilita’ e differenziale di una funzione. Piano tangente al grafico di una funzione differenziabile di due variabili. Esempi. 

(*) Condizione necessaria di differenziabilità  (conseguenze della proprietà di essere differenziabile)- 

(*) Teorema del differenziale totale  (condizione sufficiente di differenziabilità).

Funzioni a valori vettoriali di una variabile: limiti, derivate, integrali secondo le componenti. 

Funzioni di più' variabili a valori vettoriali, vettori derivate parziali, matrice jacobiana. 

Teorema sul differenziale di una funzione composta, regola della catena per il calcolo delle derivate parziali.

Teorema di inversione locale di funzioni da R^n in R^n.

Derivate seconde, teorema di Schwarz sull' inversione dell' ordine di derivazione per le derivate miste.

Estremi relativi (liberi) di funzioni scalari di piu’ variabili.

(*) Criterio necessario (teorema di Fermat per funzioni di più' variabili).

Punti di massimo, minimo, sella. 

(*) Formula di Taylor con resto in forma di Peano, risp. di Lagrange del primo ordine (i.e. definizione di differenziabilita' risp. teorema del valore medio). 

(**) Formula di Taylor con resto in forma di Peano e di Lagrange del secondo ordine.

(**) Richiami sulle forme quadratiche e sulle matrici (semi)definite positive e negative, applicazione a criteri sugli estremi liberi basati sulla matrice hessiana.

[Funzioni convesse]

2) Integrali doppi e tripli.  

Definizione di integrale doppio e triplo su rettangoli, risp. parallelepipedi. Integrabilita' delle funzioni continue. Insiemi di misura nulla (secondo Peano-Jordan) integrabilita' di funzioni discontinue su insieme di misura nulla in un rettangolo. Integrali su insieme limitati di funzioni continue. Misurabilita' di un insieme e misura (area, volume) degli insieme misurabili.  

Formule di riduzione su rettangoli e su insiemi semplici rispetto a un asse, esempi, esercizi.

Cambiamenti regolari di coordinate (diffeomorfismi), formule di cambiamento di variabile. 

Coordinate polari nel piano, cilindriche e sferiche nello spazio, solidi di rotazione, esempi, esercizi.

Cenno agli integrali impropri, calcolo dell' integrale di Gauss ( della funzione e^{- x^2} su tutta la retta reale). Cenno su alcune nozioni fisiche, massa di un corpo piano o solido di densità' assegnata, baricentro, momento di inerzia (analoghe nozioni anche per gli integrali curvilinei e superficiali oggetto dei successivi capitoli).

3) Curve e integrali curvilinei, forme differenziali. 

Parametrizzazioni, sostegno di una curva, curve regolari e regolari a tratti, curve cartesiane. 

Velocita' scalare, versore tangente, curve equivalenti, ascissa curvilinea.  

Curve rettificabili, lunghezza di una curva e suo calcolo per curve regolari di classe C^1, integrali curvilinei di prima specie di funzioni scalari. 

Cenni sul concetto e sul calcolo di curvatura [e torsione] per curve regolari. 

Insiemi aperti connessi. 

 Integrali curvilinei di seconda specie di campi vettoriali, linguaggio delle forme differenziali. 

Forme differenziali chiuse (campi irrotazionali) ed esatte (campi conservativi). 

(*) Calcolo degli integrali curvilinei di forme esatte su curve conoscendo una primitiva e gli estremi della curva.

(*) Condizione necessaria di esattezza (ogni forma esatta e' chiusa). 

(**) Condizioni necessarie e sufficienti di esattezza. 

(*) Teorema di Green nel piano (dimostrazione nel caso di insieme semplici rispetto agli assi).

(*) Applicazione alla dimostrazione dell' invarianza per omotopia degli integrali di forme chiuse e a una condizione sufficiente di esattezza  di una forma differenziale in R^2  in insiemi semplicemente connessi (i.e. in tali insiemi ogni forma chiusa e' esatta). Campi radiali. 

Calcolo di primitive di una forma esatta, metodo degli integrali indefiniti.

4) Superfici, integrali superficiali e Analisi vettoriale.  

Parametrizzazioni, superfici regolari, superfici cartesiane.

Prodotto vettoriale fondamentale, versore normale, area di una superficie, integrali di superficie di prima specie. 

Superfici con bordo. Superfici orientabili, orientazione di una superficie.

Integrali di superficie di seconda specie di campi vettoriali (flussi di campi vettoriali attraverso superfici orientate).

Gradiente di di un campo scalare, divergenza e rotore di un campo vettoriale.

(*) Teorema della divergenza o di Gauss-Green e applicazioni. 

Teorema di Stokes o del rotore.

5) Funzioni implicite, Massimi e Minimi vincolati.  

Concetto di funzione implicita. 

(*) Teorema di Dini o delle funzioni implicite  in due dimensioni. Esempi.

Teorema di Dini in piu’ dimensioni e cenni al caso dei sistemi e alle varietà'  in R^n di dimensione k (e codimensione m=n-k).

Estremi vincolati di funzioni di due e tre variabili con un vincolo, estremi vincolati di funzioni di tre variabili con due vincoli. Cenno al caso generale di funzioni con n variabili ed m vincoli. 

(**) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (condizioni necessarie di estremo vincolato). Lagrangiana associata a una funzione e a un vincolo.

Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi compatti con bordo regolare con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

6)  Serie numeriche. Successioni e serie di funzioni.  Serie di potenze, serie di Fourier.   

Richiami sulle successioni numeriche reali. 

Serie numeriche, definizioni, serie geometrica.

(*) Criteri di convergenza per serie a termini dello stesso segno: criterio del rapporto, della radice, di confronto, confronto asintotico, confronto con un integrale improprio. 

Serie armonica e armonica generalizzata. Convergenza semplice ed assoluta di serie a termini di segno variabile. 

(*) Criterio di convergenza assoluta.

(*) Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno.

Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni.

(**) Teorema sulla continuità' del limite.

(*) Teorema  di passaggio al limite sotto il segno di integrale. 

   (**)  Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata.

Serie di funzioni, convergenza puntuale, uniforme, totale  e loro relazioni, in particolare

(**) Criterio di Weierstrass di convergenza uniforme.

Proprieta’ della convergenza uniforme, derivazione e integrazione per serie.

Serie di potenze reali e loro proprieta’.  Serie di Taylor di funzioni di classe C^{\infty}. 

Funzioni analitiche reali.

Cenno alle serie di Fourier, convergenza puntuale per funzioni periodiche regolari a tratti, uniforme per funzioni periodiche continue e regolari a tratti.

Serie di Fourier in forma complessa 

[Convergenza in media quadratica, spazi con prodotto scalare a infinite dimensioni]. 

[Applicazione delle serie di Fourier a semplici esempi di equazioni a derivate parziali].

[Trasformata di Fourier e sue proprieta'. Applicazioni]

[Trasformata di Laplace e sue proprieta'. Applicazioni]

7) Primi elementi di Analisi complessa. 

Richiami sul campo complesso, rappresentazione trigonometrica, potenze e radici.

Serie di potenze complesse, funzioni analitiche.

Funzioni complesse di variabile complessa, derivata di una funzione complessa, equazioni di Cauchy-Riemann. 

Potenza a esponente intero, esponenziale complesso, funzioni iperboliche e trigonometriche.

Funzioni olomorfe e loro principali proprieta’. 

Integrali curvilinei di funzioni complesse.

(**) Formula di rappresentazione di Cauchy.

(**) Analicita’ delle funzioni olomorfe, sviluppi in serie di Taylor. 

(**) Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell' algebra.

Singolarita’ isolate.

(**) Teorema sullo sviluppo in serie di Laurent, 

Residuo di una funzione in un punto singolare isolato, calcolo dei residui nei poli di una funzione. 

Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali di funzioni reali.

[Applicazione del teorema dei residui al calcolo di trasformate di Fourier. ]

Funzioni polidrome, logaritmo complesso, potenze a base ed esponente complesse.

[ Integrali sulle rette di diramazione ].

8) Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie.  

Generalita’ sulle equazioni differenziali ordinarie. 

[ Richiami sui metodi di soluzione di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e ad esse riconducibili. Equazioni lineari del primo ordine, equazioni di Bernoulli. Equazioni lineari del secondo ordine e di ordine superiore, metodi di risoluzione nel caso di coefficienti costanti. 

Cenno alla soluzione dei sistemi lineari del primo ordine. ]

(**) Teorema di esistenza e unicita’ locale di soluzioni di un problema di Cauchy relativo a un' equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale.

Teorema di esistenza e unicita’ globale di soluzioni di un problema di Cauchy relativo a un' equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale.

Estensione al caso di sistemi di equazioni del primo ordine e a equazioni di ordine superiore.

[ Esistenza globale di soluzioni per equazioni e sistemi lineari. 

(**) Giustificazione dei risultati teorici sulle equazioni lineari, relazione tra equazioni omogenee e non omogenee, dimensione dello spazio delle soluzioni dell' equazione omogenea.

Definizioni e proprieta' relative alla stabilita' dei punti di equilibrio per equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie. ]