Metodi Matematici Per L'ingegneria 2012/2013

1. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Lemma delle contrazioni. Teorema di esistenza e unicità di Cauchy. Applicazioni a equazioni lineari e sistemi.

2. Funzioni di variabile complessa: funzioni olomorfe, richiami su convergenza uniforme e sulle serie di potenze, integrazione in campo complesso, teorema e formula integrale di Cauchy e relative conseguenze, funzioni analitiche e principali proprietà, singolarità isolate e serie di Laurent, residui, teorema dei residui e applicazione al calcolo di integrali impropri, cenni su trasformazioni conformi. Funzioni meromorfe.

3. Trasformata di Laplace e principali proprietà, formula di inversione, convoluzione e principali proprietà. Applicazione della trasformata di Laplace alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie.

4. Integrale di Lebesgue. Elementi di analisi funzionale:spazi vettoriali reali e complessi, spazi normati, spazi di Banach, spazi C^k e spazi L^p. 

5. Cenni sulla teoria delle distribuzioni: funzioni test, distribuzioni indotte da funzioni localmente sommabili, limiti nel senso delle distribuzioni, delta di Dirac, derivate distribuzionali.

6. Spazi di Hilbert, teorema della proiezione, sistemi ortonormali in L^2. Serie di Fourier: convergenza in L^2, puntuale ed uniforme, fenomeno di Gibbs.

7. Trasformata di Fourier di funzioni sommabili, di funzioni di L^2 e proprietà principali, formula di inversione. Applicazione delle trasformate di  Fourier alla soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali, proprietà del nucleo del calore.