Geometria 2011/2012

Programma del corso di Geometria (PROGRAMMA DA 6 CREDITI) G. Marini -   A.A. 2011/2012 Ing. Energetica, Gestionale, Meccanica Sistemi lineari e matrici. Sistemi lineari, compatibilità e classe di equivalenza; matrice associata ad un sistema lineare; metodi risolutivi: riduzione di Gauss-Jordan; operazioni elementari sui sistemi lineari e sulle matrici; parametri liberi. Matrici. Operazioni elementari tra matrici: somma e prodotto righe per colonne, proprietà fondamentali. Matrici quadrate: determinante e suo sviluppo di Laplace, teorema di Binet, matrici invertibili, calcolo dell'inversa di una matrice. Rango, minori. Teorema di Cramer. Spazi vettoriali. Spazi vettoriali reali astratti: definizione e proprietà; spazi vettoriali finitamente generati. Esempio dello spazio R^n; esempio dello spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Dipendenza e indipendenza lineare di un insieme di vettori, aspetti geometrici della dipendenza lineare, generatori, “span” di vettori, basi; coordinate rispetto ad una base, concetto di dimensione, base canonica di R^n, algoritmo di Gauss di estrazione di una base da un insieme finito di generatori di uno spazio vettoriale, completamento a una base di un insieme di vettori indipendenti. Sottospazi di uno spazio vettoriale, somma e intersezione di sottospazi, formula di Grassman. Sottospazi affini di uno spazio vettoriale. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio di R^n. Applicazioni lineari. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita: applicazioni iniettive, suriettive, nucleo e immagine di una applicazione lineare. Applicazioni lineari da R^n a R^m, matrice associata, composizione di applicazioni lineari e prodotto tra matrici. Matrice rappresentativa di una applicazione lineare tra spazi vettoriali astratti rispetto ad una scelta delle basi; rappresentazioni in basi diverse. Cambiamenti di base e cambiamenti di coordinate. Rango di una applicazione lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Endomorfismi di spazi vettoriali. Autovalori, autovettori e loro interpretazione geometrica. Polinomio caratteristico di una trasformazione lineare. Problema della diagonalizzazione: matrice rappresentativa di una trasformazione lineare e cambiamenti di base, matrici coniugate. Elementi di geometria affine nel piano e nello spazio. Punti, rette e piani. Equazioni cartesiane e parametriche di rette in R2, rette e piani in R3 e interpretazione geometrica dei relativi coefficienti. Elementi di geometria Euclidea. Prodotto scalare canonico sullo spazio Rn delle n-ple reali, ortogonalità, angoli, norma, distanza.  Proiezioni ortogonali. Geometria Euclidea di R2 e R3. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Interpretazione geometrica del determinante: volumi di parallelepipedi. Distanza punto-retta, distanza punto-piano, distanza tra due rette sghembe. TESTI DI RIFERIMENTO -     Dispense dei docenti    (reperibili sulle pagine web di E. Ciriza, G. Marini, A. Rapagnetta) ALTRI TESTI CONSIGLIATI -     Marco Abate - Geometria, Ed. McGraw-Hill. -     M. Abate e C. di Fabritiis - Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Ed. McGraw-Hill. -     Tom M. Apostol - Calcolo. Vol 2 - Geometria, Ed. Boringhieri. -     Serge Lang - Algebre Lineare, Ed. Boringhieri. -     Aristide Sanini - Lezioni ed Esercizi di Geometria, Ed. Levrotto & Bella. -     F. Flamini, A. Verra. - Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci Editore.