Geometria 2011/2012

- Sistemi lineari e matrici. Metodi risolutivi. Algoritmo di Gauss-Jordan. Rango di una matrice. Determinanti. Teorema di Laplace - Spazi vettoriali. Dimensione, basi, coordinate, cambiamenti di base. Applicazioni lineari e cambiamenti di base. Operatori lineari. Diagonalizzabilita' di operatori lineari: polinomio caratteristico. Teorema di Hamilton-Cayley. Autovalori ed autospazi. Molteplicita' algebrica e geometrica. - Spazi vettoriali euclidei: prodotti scalari, norme, basi ortonormali, angoli tra vettori, proiezioni ortogonali di vettori su sottospazi. Matrici ortogonali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Orientazione di basi. - Spazi cartesiani: varieta' lineari, giaciture. Coordinate, equazioni cartesiane e parametriche di varieta' lineari. Mutue posizioni di varieta' lineari. Isometrie ed affinita': differenza tra geometria affine e geometria euclidea. Figure congruenti e figure affinemente equivalenti. - Piano cartesiano R2 e spazio cartesiano R3: formule di geometria. Alcune isometrie ed affinita' nel piano cartesiano R2 e nello spazio cartesiano R3: Traslazioni. Rotazioni intorno ad punto del piano e riflessioni rispetto ad una retta del piano. Rotazioni intorno ad una retta dello spazio e riflessioni rispetto ad un piano, ad una retta e ad un punto dello spazio. Dilatazioni. Circonferenze e sfere e spazi lineari tangenti in un punto. - Operatori ortogonali ed operatori autoaggiunti: proprieta'. Diagonalizzazione di matrici simmetriche 2 X 2 e 3 X 3. Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti. - Coniche di R2: invarianti metrici ed affini; classificazione metrica ed affine. Riduzione e disegno di una conica nel piano - Quadriche di R3: invarianti metrici ed affini; classificazione metrica ed affine. Metodi geometrici per la classificazione di una quadrica. - Fondamenti di Geometria Proiettiva: La retta proiettiva ed il piano proiettivo. Completamento proiettivo ed elementi all'infinito. Geometria del piano proiettivo: intersezione di due rette, retta per due punti. Fasci di rette per un punto del piano proiettivo. Classificazione di coniche affini attraverso lo studio dei loro punti impropri.