Geometria 2011/2012

Sistemi lineari e matrici. Sistemi lineari, compatibilità e classe di equivalenza; matrice associata ad un sistema lineare; metodi risolutivi: riduzione di Gauss-Jordan; operazioni elementari sui sistemi lineari e sulle matrici; parametri liberi.

Matrici. Operazioni elementari tra matrici: somma e prodotto righe per colonne, proprietà fondamentali. Matrici quadrate: determinante e suo sviluppo di Laplace, teorema di Binet, matrici invertibili, calcolo dell'inversa di una matrice. Rango, minori.

Teorema di Cramer.

Spazi vettoriali. Spazi vettoriali reali astratti: definizione e proprietà; spazi vettoriali finitamente generati. Esempio dello spazio Rn; esempio dello spazio vettoriale delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Dipendenza e indipendenza lineare di un insieme di vettori, aspetti geometrici della dipendenza lineare, generatori, “span” di vettori, basi; coordinate rispetto ad una base, concetto di dimensione, base canonica di Rn, algoritmo di Gauss di estrazione di una base da un insieme finito di generatori di uno spazio vettoriale, completamento a una base di un insieme di vettori indipendenti. Sottospazi di uno spazio vettoriale, somma e intersezione di sottospazi, formula di Grassman. Sottospazi affini di uno spazio vettoriale. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio di Rn.

Applicazioni lineari. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita: applicazioni iniettive, suriettive, nucleo e immagine di una applicazione lineare. Applicazioni lineari da Rn a Rm, matrice associata, composizione di applicazioni lineari e prodotto tra matrici. Matrice rappresentativa di una applicazione lineare tra spazi vettoriali astratti rispetto ad una scelta delle basi; rappresentazioni in basi diverse. Cambiamenti di base e cambiamenti di coordinate. Rango di una applicazione lineare.

Teorema di Rouché-Capelli.

Endomorfismi di spazi vettoriali. Autovalori, autovettori e loro interpretazione geometrica. Polinomio caratteristico di una trasformazione lineare. Problema della diagonalizzazione: matrice rappresentativa di una trasformazione lineare e cambiamenti di base, matrici coniugate.

Elementi di geometria affine nel piano e nello spazio. Punti, rette e piani. Equazioni cartesiane e parametriche di rette in R2, rette e piani in R3 e interpretazione geometrica dei relativi coefficienti.

Elementi di geometria Euclidea. Prodotto scalare canonico sullo spazio Rn delle n-ple reali, ortogonalità, angoli, norma, distanza. Proiezioni ortogonali. Geometria Euclidea di R2 e R3. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Interpretazione geometrica del determinante: volumi di parallelepipedi. Distanza punto-retta, distanza punto-piano, distanza tra due rette sghembe.

- Dispense dei docenti (reperibili sulle pagine web di E. Ciriza, G. Marini, A. Rapagnetta)

- Marco Abate - Geometria, Ed. McGraw-Hill.

- M. Abate e C. di Fabritiis - Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Ed. McGraw-Hill.

- Tom M. Apostol - Calcolo. Vol 2 - Geometria, Ed. Boringhieri.

- Serge Lang - Algebre Lineare, Ed. Boringhieri.

- Aristide Sanini - Lezioni ed Esercizi di Geometria, Ed. Levrotto & Bella.

- F. Flamini, A. Verra. - Matrici e Vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare, Carocci Editore.