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Geometria Algebrica 2021/2022
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Dec 21Bacheca » Benvenuti Al Corso Di Geometria Algebrica
Benvenuti al corso di Geometria Algebrica.CORSO GEOMETRIA ALGEBRICA 2021-2022
(attenzione: a causa di un ripensamento del docente il programma e' in parte cambiato rispetto al programma annunciato)
ARGOMENTO: SUPERFICI DI RIEMANN COMPATTE, CURVE ALGEBRICHE, CURVE ELLITTICHE
Il corso e' un'introduzione alla Geometria Algebrica basata sulle varietà algebrica di dimensione più piccola (a parte gli insiemi di punti), cioè le curve algebriche. Il caso più semplice e' quando il campo di scalari su cui sono definite e' il campo dei numeri complessi. In questo caso le curve proiettive lisce si identificano a superfici differenziabili compatte dotate di una struttura complessa, altrimenti dette Superfici di Riemann compatte, ed è proprio questo l'argomento da cui cominceremo, studiandone tutta la teoria-base.
Poi passeremo alle curve algebriche (quando necessario, incontreremo anche varietà algebriche di dimensione maggiore di uno) prima su un campo algebricamente chiuso qualsiasi, poi su un campo (perfetto) qualsiasi.
Alla fine tratteremo in più dettagliato una classe di superfici di Riemann/curve proiettive lisce particolarmente importante: le curve ellittiche. Sono le curve lisce definite nel piano proiettivo da un'equazione omogenea di grado tre. Oltre ad essere curve algebriche, sono anche gruppi, e questi gruppi dipendono dal campo di scalari su cui sono definite. Ad esempio, quando il campo di scalari è il campo dei numeri razionali (o una sua estensione finita) il gruppo è finitamente generato (teorema di Mordell). Lo studio di questi gruppi costituisce una delle parti più difficili e irrisolte della matematica attuale, e, al tempo stesso, ha notevole applicazioni alla vita di tutti i giorni (la crittografia).
Ecco il programma del corso
SUPERFICI DI RIEMANN COMPATTE
Definizione ed esempi. Equivalenza con le curve proiettive complesse lisce. Funzioni meromorfe/funzioni razionali. Genere. Forme differenziali olomorfe e meromorfe. Divisori e sistemi lineari. Classe canonica. Teorema di Riemann-Roch. Varieta' Jacobiana e varietà di Picard. Superfici di Riemann compatte di genere 1 (curve ellittiche).
VARIETÀ ALGEBRICHE. CURVE ALGEBRICHE.
Generalità su varietà algebriche affini e proiettive. Teorema degli zeri di Hilbert. Anelli delle coordinate. Campo delle funzioni razionali. Punti lisci e punti singolari. Anello locale in un punto. Morfismi e mappe razionali tra varietà.
Curve algebriche, morfismi tra curve. Grado di un morfismo tra curve. Casi separabile e inseparabile. Indice di ramificazione. Morfismo di Frobenius. Divisori, equivalenza razionale e gruppo di Picard, forme differenziali. Genere di una curva proiettiva. Sistemi lineari e Teorema di Riemann-Roch. Curve razionali = curve di genere 0. Curve ellittiche = curve di genere 1.
IL CAMPO DEI NUMERI p-ADICI. PUNTI RAZIONALI SU CONICHE (Teorema di Hasse-Minkowsky-Legendre)
CURVE ELLITTICHE
Teorema di Bézout. Equazione di Weierstrass, Legge di Gruppo, Isogenie, Differenziale Invariante. Invariante j.
Appendice: Estensioni di Galois infinite. il gruppo di Galois della chiusura algebrica dei numeri razionali, sui numeri razionali.
Curve ellittiche su campi finiti. Curve ellittiche sui p-adici. Curve ellittiche sui numeri razionali.
PREREQUISITI: Buona familiarità con gli argomenti dei corsi obbligatori della Laurea Triennale di Algebra (Algebra 1 e 2), Geometria (Geometria 1,2,3, e 4) e Analisi (Analisi 1,2,3,4 e Analisi reale e complessa).
MODALITÀ D’ESAME. Esame orale.
NOTA. Il corso di Geometria Algebrica si rivolge a tutti gli studenti della Laurea Magistrale in Matematica. È un corso da 8 crediti (cioè 6 ore a settimana) del secondo semestre.
Chi fosse intenzionato a seguire il corso è pregato di contattare il docente in anticipo, per meglio calibrare il programma in funzione della preparazione degli studenti.
(attenzione: a causa di un ripensamento del docente il programma e' in parte cambiato rispetto al programma annunciato)
ARGOMENTO: SUPERFICI DI RIEMANN COMPATTE, CURVE ALGEBRICHE, CURVE ELLITTICHE
Il corso e' un'introduzione alla Geometria Algebrica basata sulle varietà algebrica di dimensione più piccola (a parte gli insiemi di punti), cioè le curve algebriche. Il caso più semplice e' quando il campo di scalari su cui sono definite e' il campo dei numeri complessi. In questo caso le curve proiettive lisce si identificano a superfici differenziabili compatte dotate di una struttura complessa, altrimenti dette Superfici di Riemann compatte, ed è proprio questo l'argomento da cui cominceremo, studiandone tutta la teoria-base.
Poi passeremo alle curve algebriche (quando necessario, incontreremo anche varietà algebriche di dimensione maggiore di uno) prima su un campo algebricamente chiuso qualsiasi, poi su un campo (perfetto) qualsiasi.
Alla fine tratteremo in più dettagliato una classe di superfici di Riemann/curve proiettive lisce particolarmente importante: le curve ellittiche. Sono le curve lisce definite nel piano proiettivo da un'equazione omogenea di grado tre. Oltre ad essere curve algebriche, sono anche gruppi, e questi gruppi dipendono dal campo di scalari su cui sono definite. Ad esempio, quando il campo di scalari è il campo dei numeri razionali (o una sua estensione finita) il gruppo è finitamente generato (teorema di Mordell). Lo studio di questi gruppi costituisce una delle parti più difficili e irrisolte della matematica attuale, e, al tempo stesso, ha notevole applicazioni alla vita di tutti i giorni (la crittografia).
Ecco il programma del corso
SUPERFICI DI RIEMANN COMPATTE
Definizione ed esempi. Equivalenza con le curve proiettive complesse lisce. Funzioni meromorfe/funzioni razionali. Genere. Forme differenziali olomorfe e meromorfe. Divisori e sistemi lineari. Classe canonica. Teorema di Riemann-Roch. Varieta' Jacobiana e varietà di Picard. Superfici di Riemann compatte di genere 1 (curve ellittiche).
VARIETÀ ALGEBRICHE. CURVE ALGEBRICHE.
Generalità su varietà algebriche affini e proiettive. Teorema degli zeri di Hilbert. Anelli delle coordinate. Campo delle funzioni razionali. Punti lisci e punti singolari. Anello locale in un punto. Morfismi e mappe razionali tra varietà.
Curve algebriche, morfismi tra curve. Grado di un morfismo tra curve. Casi separabile e inseparabile. Indice di ramificazione. Morfismo di Frobenius. Divisori, equivalenza razionale e gruppo di Picard, forme differenziali. Genere di una curva proiettiva. Sistemi lineari e Teorema di Riemann-Roch. Curve razionali = curve di genere 0. Curve ellittiche = curve di genere 1.
IL CAMPO DEI NUMERI p-ADICI. PUNTI RAZIONALI SU CONICHE (Teorema di Hasse-Minkowsky-Legendre)
CURVE ELLITTICHE
Teorema di Bézout. Equazione di Weierstrass, Legge di Gruppo, Isogenie, Differenziale Invariante. Invariante j.
Appendice: Estensioni di Galois infinite. il gruppo di Galois della chiusura algebrica dei numeri razionali, sui numeri razionali.
Curve ellittiche su campi finiti. Curve ellittiche sui p-adici. Curve ellittiche sui numeri razionali.
PREREQUISITI: Buona familiarità con gli argomenti dei corsi obbligatori della Laurea Triennale di Algebra (Algebra 1 e 2), Geometria (Geometria 1,2,3, e 4) e Analisi (Analisi 1,2,3,4 e Analisi reale e complessa).
MODALITÀ D’ESAME. Esame orale.
NOTA. Il corso di Geometria Algebrica si rivolge a tutti gli studenti della Laurea Magistrale in Matematica. È un corso da 8 crediti (cioè 6 ore a settimana) del secondo semestre.
Chi fosse intenzionato a seguire il corso è pregato di contattare il docente in anticipo, per meglio calibrare il programma in funzione della preparazione degli studenti.