Informazioni di Algebra 2 | DidatticaWEB

Generali:

Dipartimento: Scienze Matematiche, Fisiche E Naturali
Settore Ministeriale: MAT/02
Codice di verbalizzazione: 8065627
Metodi di insegnamento: Frontale E Altro
Metodi di valutazione: Scritto E Orale
Prerequisiti: Si richiede allo studente la conoscenza - almeno in buona parte: eventuali mancanze possono essere ragionevolmente recuperate durante il corso - dei seguenti argomenti (normalmente trattati in un corso di "Algebra 1" o "Algebra"): [1] Insiemi, operazioni tra insiemi; partizioni, quozienti. Corrispondenze, applicazioni (o "funzioni"), relazioni; equivalenze, ordini. Il Teorema Fondamentale delle Applicazioni. [2] Il Sistema dei Numeri Naturali; Principio di Induzione; operazioni, ordine e divisione con resto tra numeri naturali. Numerazioni in base qualsiasi. [3] Cardinalità (o "potenza") di un insieme, numeri cardinali; insiemi finiti, insiemi infiniti; insiemi numerabili. Primo e Secondo Teorema di Cantor. Cardinali infiniti superiori. [4] Insiemi con una operazione (="gruppoidi"); (omo)morfismi; il Teorema di Cayley (per semigruppi). Relazioni compatibili con un'operazione: gruppoidi quoziente; il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppoidi. Gruppoidi cancellativi; il gruppo associato ad un gruppoide commutativo cancellativo. [5] Costruzione dell'insieme Z dei numeri interi (con operazioni, ordine, valore assoluto, divisione con resto). Divisibilità in Z: elementi primi, elementi irriducibili; M.C.D. e m.c.m. in Z; l'algoritmo euclideo per M.C.D. e identità di Bézout. Il Teorema Fondamentale dell��Aritmetica. Esistenza in Z di infiniti elementi irriducibili. La funzione di Eulero. Equazioni diofantee in Z. Congruenza modulo n in Z; somma e prodotto modulo n; criteri di divisibilità tra numeri interi. Equazioni congruenziali (lineari), equazioni modulari (lineari). Invertibilità e calcolo di potenze modulo n: il Piccolo Teorema di Fermat, il Teorema di Eulero. Sistemi di equazioni congruenziali (lineari); il Teorema Cinese del Resto. [6] Gruppi e loro (omo)morfismi. Il Teorema di Cayley per Gruppi. Sottogruppi; il sottogruppo generato da un sottoinsieme. Gruppi e sottogruppi ciclici; ordine di un elemento in un gruppo. Il Teorema di Struttura dei Gruppi Ciclici; sottogruppi di un gruppo ciclico; generatori di un gruppo ciclico. Equivalenza (destra e sinistra) in un gruppo associata ad un sottogruppo. Classi laterali di un sottogruppo; indice di un sottogruppo. Il Teorema di Lagrange. Il sottogruppo associato ad una equivalenza compatibile in un gruppo; sottogruppi normali. Gruppi quoziente. Immagine e nucleo di un morfismo di gruppi. Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Gruppi. Corrispondenza tra sottogruppi (o sottogruppi normali) nel dominio e nel codominio di un morfismo. [7] Azioni/rappresentazioni di un gruppo: G-spazi. G-orbite, stabilizzatori, punti fissi; azioni fedeli, azioni transitive, G-spazi omogenei. Relazione tra orbita e stabilizzatore di un punto in un G-spazio. Azioni indotte. Azioni di un gruppo su sé stesso. Equazione delle Classi in un gruppo finito. Il Teorema di Burnside. Il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme; il gruppo simmetrico su n elementi. Permutazioni cicliche; fattorizzazione di una permutazione in cicli disgiunti; fattorizzazione di una permutazione in trasposizioni; parità di una permutazione, il sottogruppo alterno. Classi coniugate nel gruppo simmetrico. Il gruppo diedrale su n elementi: proprietà fondamentali. [8] Anelli: definizione generale, classi speciali, esempi e controesempi; sottoanelli; il sottoanello generati da un sottoinsieme. (Omo)morfismi tra anelli; immagine e nucleo. Il Teorema di Cayley per Anelli: il caso speciale degli anelli unitari. Relazioni compatibili in un anello, anelli quoziente; ideali sinistri/destri/bilateri. L'ideale generato da un sottoinsieme; ideali principali, anelli a ideali principali. Il Teorema Fondamentale di Omomorfismo per Anelli. Corrispondenza tra sottoanelli (o ideali sinistri/destri/bilateri) nel dominio e nel codominio di un morfismo. Il campo dei quozienti di un dominio. Esempi: numeri razionali, funzioni razionali.
Obiettivi: OBIETTIVI FORMATIVI: Conseguire una buona conoscenza delle strutture algebriche principali - gruppi, anelli, campi - includendo alcuni risultati di struttura per classi particolari e le relazioni notevoli tra i diversi tipi di struttura algebrica (come ad esempio la teoria di Galois per i campi). CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE: Lo studente dovrà conoscere i tipi principali di strutture algebriche, nonché esempi e controesempi che illustrino i vari casi e le differenze tra essi; in particolare dovrà capire le relazioni gerarchiche tra diversi livelli di astrazione/generalizzazione di nozioni fondamentali che vengono via via perfezionate in nozioni più complesse. Inoltre, lo studente non potrà limitarsi a apprendere meccanicamente procedure più o meno algoritmiche per la risoluzione di problemi, ma dovrà effettivamente capire perché tali procedure funzionano. CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE: Lo studente dovrà essere in grado di risolvere problemi ed esercizi relativi agli argomenti trattati nel corso; esempi di tali problemi ed esercizi saranno svolti in aula durante il corso, e materiale adeguato per la preparazione in tal senso sarà fornito on-line. AUTONOMIA DI GIUDIZIO: Lo studente dovrà essere in grado riconoscere autonomamente quando un problema matematico si possa inquadrare nell'ambito di una o l'altra delle teorie studiate nel corso. Più in dettaglio, in relazione a problemi specifici dovrà essere in grado di capire quali tecniche possano essere utilizzate, e quali risultati già noti applicati, per risolvere la questione affrontata. ABILITÀ COMUNICATIVE: Lo studente dovrà essere in grado di spiegare compiutamente gli argomenti trattati, sia in forma orale che in forma scritta che in modalità mista (orale con ausilio di formule e/o calcoli e/o immagini scritte). CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO: Lo studente dovrà capire le nozioni studiate e le idee che ne sono alla base, e i risultati relativi, con le dimostrazioni che ne sono a supporto; inoltre, è fondamentale che conosca anche esempi e controesempi che illustrino tali nozioni e risultati.
Ricevimento: per appuntamento

Didattica:

A.A.: 2021/2022
Canale: UNICO
Crediti: 7

Classe virtuale:

Nome classe: GAVARINI-8065627-ALGEBRA_2
Link Microsoft Teams: Link
Docente: GAVARINI FABIO