Barbara Torti

Curriculum di Barbara Torti

Dati personali

_ Nata a Colleferro (RM) il 16/04/1967.

_ Posizione attuale: ricercatore, settore Mat/06, afferente al Dipartimento

di Matematica dell’Università di Roma Tor Vergata dal 1 novembre

2002.

_ Indirizzo: Dipartimento di Matematica, Universit`a di Roma Tor Vergata

Via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma.

Telefono 0672594627 fax: 72594699 e-mail: torti@mat.uniroma2.it

Titoli di studio

_ Laurea in Matematica, Universit`a degli Studi di Roma “La Sapienza”

il 24/01/95

_ Dottorato di Ricerca in Statistica Matematica, Università degli Studi

di Pavia (XIII ciclo). Titolo della tesi: Diffusive approximations

for queueing network models: results and conjectures about the filter

convergence. Relatori: Prof.ssa Anna Gerardi, Prof.ssa Giovanna

Nappo

Borse di studio

_ Titolare di un assegno di ricerca presso il Dipartimento di Matematica

dell’Università di Studi di Roma La Sapienza, titolo della ricerca:

Processi di conteggio, filtraggio e relative applicazioni (1 Maggio 2002,

30 ottobre 2002)

Convegni e seminari

_ Workshop on Nonlinear filtering:Uniqueness and Approximation Techniques

for Solutions of Filtering Equations - 14, 15 Gennaio 1999, Università  de L’Aquila.

_ 21st Midwest Probability Colloquium 22, 23 Ottobre 1999, University

of Cincinnati (USA).

_ 27th Conference on Stochastic Processes and their Applications - 9, 13

Luglio 2001, University of Cambridge (UK).

_ Processi Stocastici, Calcolo Stocastico ed Applicazioni, Pisa, 13-14

Settembre 2001, comunicazione dal titolo: Filtering of a Brownian

motion with respect to its local time.

_ 2001 Seminario dal titolo Approssimazioni diffusive per processi di code:

qualche risultato di convergenza di filtri - Dipartimento di Matematica,

Politecnico di Milano.

_ 2002 Seminario dal titolo Legge condizionale di un random walk a tempo

continuo rispetto al suo tempo locale: calcolo esatto ed approssimato-

Dipartimento di Matematica, Università di Roma La Sapienza.

_ Filtering Theory and Applications, comunicazione dal titolo The filter

of a continuous time random walk with respect to its local time- 25, 30

Luglio 2002, University of Alberta (CANADA).

_ Stochastic Processes, Stochastic Calculus and Applications - 19, 20

Settembre 2002, Universit`a di Roma La Sapienza.

_ Convegno Processi Stocastici ed Applicazioni- Bologna 15, 17 Settembre

2003

_ 2007 Seminario dal titolo Problemi di approssimazione per filtri di

processi di code: risultati e congetture.- Dipartimento di Matematica,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Stochastic processes: theory and applications - A conference in honor

of the 65th birthday of Wolfgang J. Runggaldier - Bressanone 16 - 20

Luglio, 2007

_ Metodi Stocastici in Finanza Torino, 3-5 luglio 2008

_ XIII workshop on quantitative finance - L ’Aquila 26- 27 gennaio 2012

_ ”Probability & Finance” Final Conference of the Research Project

PRIN 2008

Pescara, 10-12 Settembre 2012

Soggiorni all'estero

_ Da giugno 1999 ad agosto 2000 ha frequentato l’Università di Madison-

Wisconsin (USA) per approfondire alcuni aspetti della sua tesi di

dottorato sotto la guida del Prof. Thomas G. Kurtz.

Attività didattica

_ Esercitazioni del corso Metodi Probabilistici, Statistici e Processi Stocastici

(titolare Prof. B. Bassan ), a.a. 1995/96, Politecnico di Milano.

_ Esercitazioni del corso Metodi Probabilistici, Statistici e Processi Stocastici

(titolare Prof. B. Bassan ),a.a. 1996/97, Politecnico di Milano.

_ Esercitazioni del corso Statistica Descrittiva (titolare Prof. A. Barchielli),

a.a. 1996/97, Politecnico di Milano.

_ Esercitazioni del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica, (titolare

Dott. M. Abundo) a.a. 2002/03, Facoltà di Ingegneria, Università di

Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.

2002/03, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.

2004/05, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Analisi Matematica 1 , a.a. 2006/07, Facoltà di

Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.

2006/07, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Analisi Matematica 1 , a.a. 2007/08, Facoltà di

Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.

2007/08, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Analisi Matematica 1 , a.a. 2008/09, Facoltà di

Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.

2008/09, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica

in Ingegneria Informatica a.a. 2008/09, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Esercitazioni del corso Equazioni differenziali stocastiche Laurea specialistica

in Ingegneria Matematica a.a. 2008/09, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Calcolo delle Probabilità e Statistica (corso bis), a.a.

2009/10, Facoltà di Ingegneria, Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica

in Ingegneria Informatica a.a. 2009/10, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Esercitazioni del corso Equazioni differenziali stocastiche Laurea specialistica

in Ingegneria Matematica a.a. 2009/10, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica

in Ingegneria Informatica a.a. 2010/11, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Esercitazioni del corso Equazioni differenziali stocastiche Laurea specialistica

in Ingegneria Matematica a.a. 2010/11, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica

in Ingegneria Informatica a.a. 2011/12, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Probabilità e Statistica Laurea triennale in Ingegneria

Civile, Ambiente e Territorio a.a. 2011/12, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Complementi di Probabilità e Statistica Laurea specialistica

in Ingegneria Informatica a.a. 2012/13, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

_ Titolare del corso Probabilità e Statistica Laurea triennale in Ingegneria

Civile, Ambiente e Territorio a.a. 2012/13, Facoltà di Ingegneria,

Università di Roma Tor Vergata.

Attività di ricerca

Nella tesi di laurea [1] ha preso in esame l’evoluzione temporale di un sistema

di particelle in particolari condizioni di simmetria (scambiabilità) usando

sistematicamente l’approccio di rappresentare tale evoluzione come un

processo a valori nello spazio delle relazioni di equivalenza su un insieme

assegnato.

È stato possibile approssimare il comportamento asintotico del processo considerato

con un processo noto come “processo coalescente”.

In [2] si forniscono condizioni sufficienti per la convergenza debole dei processi

genealogici al coalescente realizzandoli su un opportuno spazio di funzioni.

Con questa stessa tecnica è stato ottenuto un risultato di convergenza forte

per l’età di un campione in esame.

Inoltre il processo coalescente per ogni tempo fissato t  è una variabile aleatoria

a valori nello spazio delle relazioni di equivalenza la cui legge ha una

struttura standard.

In [3]  è dato un teorema di rappresentazione per la legge delle variabili aleatorie

di cui sopra.

Utilizzando ancora tecniche specifiche relative a successioni di variabili aleatorie

scambiabili, ha successivamente studiato un modello di interesse in

teoria dell’affidabilità.  Più precisamente si considera una popolazione i cui

individui sono suddivisi, relativamente alla loro capacità di sopravvivenza,

in tipi diversi, quando la suddivisione in tipi non è direttamente osservabile

([4], [5]).

È stata inoltre esaminata la possibilità di riformulare il modello facendo uso

della nozione di relazione di equivalenza scambiabile [6].

Si  è  poi studiata, con tecniche di filtraggio, la distribuzione della vita residua

degli individui sopravvissuti avendo osservato una storia di guasti e

sopravvivenze [7].

Si è successivamente occupata di problemi di filtraggio di code con particolare

attenzione al problema della convergenza debole del filtro della coda

quando l’osservazione è un processo di salto multivariato la somma delle cui

componenti riproduce il processo delle partenze.

In [8],  sotto usuali condizioni di heavy traffic, per una opportuna trasformazione

lineare di questo modello stato-osservazione, è stata dimostrata

l’esistenza del limite debole e se ne è calcolata l’espressione. Nel modello

limite lo stato è un moto browniano riflesso il cui tempo locale compare in

tutte le componenti dell’osservazione.

Il passo successivo è studiare l’eventuale convergenza debole del filtro del

modello stato-osservazione introdotto al filtro dei relativi limiti. A questo

modello non si applicano risultati noti relativi alla convergenza debole delle

leggi condizionali (Goggin, 1994, 1997). È inoltre impossibile calcolare

direttamente il limite debole di una delle equazioni che il filtro soddisfa, e

quindi applicare i risultati di Kurtz e Protter (1991), perchè alcuni processi coinvolti nelle equazioni non sono tight. Questa mancanza di regolarità

è strettamente connessa alla struttura del supporto del tempo locale dello

stato limite. Inoltre, come già osservato, questo tempo locale compare nel

limite debole dell’osservazione. Questa peculiarità ha reso interessante il

problema del calcolo della stima del filtro di un moto Browniano quando

l’osservazione è il suo tempo locale al livello 0.

In [9] si studia il problema della determinazione del filtro di un moto Browniano

Wt data l’osservazione del suo tempo locale ?s, per s ≤ t. A questo

scopo si costruisce una opportuna approssimazione del filtro, ottenuta approssimando

l’osservazione tramite un processo di interpolazione, e se ne

fornisce l’espressione esplicita. Utilizzando poi un teorema che garantisce

che il filtro approssimato converge al filtro originale q.o. e nella norma L1,

si determina quest’ultimo calcolando il limite del filtro approssimato. Vengono

infine discusse alcune connessioni con la martingala di Azéma.

Questo filtro è il naturale candidato per approssimare il filtro di una coda

rispetto al suo tempo locale.

In [10] si fornisce l’espressione esplicita del filtro di una passeggiata aleatoria

a tempo continuo rispetto al suo tempo locale. Questo filtro si calcola poi

in modo esplicito nel caso in cui lo stato `e una particolare approssimazione

del moto Browniano e quando la passeggiata aleatoria riflessa è  una coda

M/M/1. In entrambi i casi si dimostra un risultato di convergenza debole

del filtro al filtro di un moto Browniano rispetto al suo tempo locale. Questo

risultato di convergenza si estende poi al caso del filtro di una coda M/M/1

quando si osserva il suo idle time, ovvero il tempo totale passato dalla coda

a livello 0.

Attualmente si occupa della proprietà di rappresentazione per le martingale

su uno spazio di probabilità filtrato. Questa proprietà  è intimamente legata

alla filtrazione di riferimento, ovvero può o meno valere su uno spazio

di probabilità a seconda della filtrazione considerata. In particolare, assumendo

che la rappresentazione valga rispetto ad una filtrazione assegnata,

si vuole indagare circa la possibilità che tale proprietà si perda quando si

consideri sullo spazio di partenza un filtrazione più grande o più piccola.

Risultati parziali sono esposti in [11] dove, per una semi-martingala generale,

si analizza il problema della perdita della proprietà di rappresentazione

prevedibile a causa di opportuni allargamenti della filtrazione di riferimento.

Situazioni di allargamento generali sono oggetto di studio recente. Naturalmente

questi risultati si applicano all’analisi della completezza dei mercati

finanziari in relazione al flusso di informazione disponibile sul mercato.

Riferimenti bibliograci

[1] B. Torti. Applicazioni della scambiabilità alla genetica delle popolazioni

neutrali. Tesi di Laurea - Università di Roma “La Sapienza”, 1995.

[2] B. Torti. Processi genetici: un teorema di approssimazione per modelli

markoviani a tempo discreto. Technical report, Università di Roma “La

Sapienza”, 1996.

[3] B. Torti. Struttura delle relazioni di equivalenza scambiabili. Technical

report, Università di Roma “La Sapienza”, 1996.

[4] A. Gerardi, F. Spizzichino, and B. Torti. Some probabilistic aspects

of heterogeneous populations. Proc. of the workshop “modellistica dei

sistemi biomedici”, CISB, Univ. di Roma “La Sapienza”, 1996.

[5] A. Gerardi, F. Spizzichino, and B. Torti. Exchangeable mixture models

for lifetimes: the role of occupations numbers. Stat. Prob. Lett.,

49(4):365–375, 2000.

[6] Anna Gerardi and Barbara Torti. Symmetric models for lifetimes: the

role of exchangeable equivalence relations. Boll. Unione Mat. Ital. Sez.

B Artic. Ric. Mat. (8), 6(1):111–123, 2003.

[7] A. Gerardi, F. Spizzichino, and B. Torti. Filtering equations for the

conditional law of residual lifetimes from a heterogeneous population.

J. Appl. Probab., 37(3), 2000.

[8] B. Torti. Diffusive approximation for a single station queue with

multitype departure process. Manuscript.

[9] Giovanna Nappo and Barbara Torti. Filtering of a reflected Brownian

motion with respect to its local time. Stochastic Process. Appl.,

116(4):568–584, 2006.

[10] Giovanna Nappo and Barbara Torti. Continuous time random walks

and queues: explicit forms and approximations of the conditional law

with respect to local times. Stochastic Process. Appl., 116(4):585–610,

2006.

[11] Torti B. Calzolari A. Enlargement of filtration and predictable

representation property for semi-martingales. working paper.