Algebra E Logica 2024/2025

INSIEMI, FUNZIONI, RELAZIONI   Insiemi, sottoinsiemi e operazioni tra di essi. Corrispondenze tra insiemi; relazioni, funzioni, composizione. Iniettività, suriettività, biiettività, invertibilità di funzioni.   Insieme delle parti di un insieme; funzione caratteristica di un sottoinsieme. Partizioni.   Relazioni d’'ordine. Relazioni di equivalenza; classi, quozienti, legame con le partizioni.   Insiemi con operazioni. Classi particolari: esempi e controesempi.   NUMERI NATURALI   Il sistema dei numeri naturali; il Principio di Induzione (in tre formulazioni). Dimostrazioni per induzione.   Ordine e operazioni nei numeri naturali; divisione con resto.   Numerazione (scrittura posizionale) in base arbitraria.   NUMERI INTERI, NUMERI MODULARI   Costruzione dei numeri interi (a partire dai naturali); valore assoluto, operazioni, ordinamento; divisibilità; M.C.D. e m.c.m.   Divisione con resto tra numeri interi.  Esistenza del M.C.D.: l’'algoritmo di Euclide; identità di Bézout. Fattorizzazione nell'anello dei numeri interi: il Teorema Fondamentale dell’'Aritmetica. Equazioni diofantee.   Relazioni di congruenza tra numeri interi. Equazioni congruenziali; sistemi di equazioni congruenziali.   Anelli di classi resto (=interi modulari). Aritmetica modulare; equazioni congruenziali.   RETICOLI, ALGEBRE DI BOOLE, CALCOLO BOOLEANO   Insiemi ordinati; relazione di copertura, diagramma di Hasse; elementi speciali in un (sotto)insieme ordinato.   Reticoli; classi speciali di reticoli; v-fattorizzazione nei reticoli.   Algebre di Boole, come reticoli e come anelli booleani unitari; il Teorema di Equivalenza (Stone).  Algebre di Boole e insiemi delle parti: il Teorema di Rappresentazione (Stone) per il caso finito (e cenni per il caso infinito).   Funzioni booleane; polinomi booleani; equivalenza tra polinomi booleani. Forma Normale Disgiuntiva di un polinomio booleano.  Forme Minimali di un polinomio booleano.  Implicanti primi; il Metodo del Consenso per il calcolo delle forme minimali di un polinomio booleano.